Senkrechte Asymptote
In diesem Kapitel besprechen wir, was eine senkrechte Asymptote ist.
Zuerst definieren wir den Begriff Asymptote.
Eine Asymptote ist eine Funktion, der sich eine andere Funktion bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert.
Welche Arten von Asymptoten gibt es?
- Senkrechte Asymptote (Sonderfall, denn es handelt sich um keine Funktion!)
- Waagrechte Asymptote
- Schiefe Asymptote
- Asymptotische Kurve
Zu jedem dieser vier Fälle schauen wir uns ein grapisches Beispiel an.
a) Senkrechte Asymptote
Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft senkrecht (siehe rote Linie).
b) Waagrechte Asymptote
Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft waagrecht (siehe rote Linie).
c) Schiefe Asymptote
Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft schief (siehe rote Linie).
d) Asymptotische Kurve
Kurve, der sich eine andere Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert (siehe rote Kurve).
Mit diesem Wissen können wir eine senkrechte Asymptote definieren:
Eine senkrechte Asymptote ist eine senkrechte Gerade, der sich eine Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert.
Senkrechte Asymptote berechnen
Eine gebrochenrationale Funktion
\[y = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0}\]
besitzt eine senkrechte Asymptote, wenn...
- der Nenner gleich Null wird
Hinweis: Die Nullstellen des Nenners entsprechen den Definitionslücken.
Vorgehensweise zur Berechnung einer senkrechten Asymptote
> Nullstellen des Nenners berechnen
Beispiel
Wir betrachten die Funktion
\[f(x) = \frac{1}{x-1}\]
1.) Nullstellen des Nenners berechnen
Die Nullstelle des Nenners berechnen wir, indem wir den Nenner des Bruchs nehmen und ihn gleich Null setzen
\(x-1 = 0 \qquad \rightarrow \quad x = 1\)
Durch \(x = 1\) verläuft die senkrechte Asymptote.
Graphik zum Beispiel
Mehr zu gebrochenrationalen Funktionen
Im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten.
| Kriterium | |
| Zählergrad bestimmen | Höchste Potenz im Zähler |
| Nennergrad bestimmen | Höchste Potenz im Nenner |
| Asymptoten berechnen | |
| > Senkrechte Asymptote | Nullstelle des Nenners (= Definitionslücke) |
| > Waagrechte Asymptote | Zählergrad < Nennergrad oder Zählergrad = Nennergrad |
| > Schiefe Asymptote | Zählergrad = Nennergrad + 1 |
| > Asymptotische Kurve | Zählergrad > Nennergrad + 1 |
| Nullstellen berechnen | \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad P(x_0) = 0 \text{ und } Q(x_0) \neq 0\) |
| Polstelle | \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) \neq 0\) |
| Hebbare Definitionslücke | \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) = 0\) |
| Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion | |
| Partialbruchzerlegung |
Vergewissere dich, dass du sowohl graphisch als auch rechnerisch die Begriffe "Nullstelle", "Definitionslücke", "Polstelle" und "Hebbare Definitionslücke" voneinander abgrenzen kannst. Auch den Unterschied zwischen einer Polstelle und einer waagrechten Asymptote solltest du dir bewusst machen. All das wird in den obigen Artikeln ausführlich besprochen.
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Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider