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Asymptoten

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Asymptote ist. Dabei beschränken wir uns auf Asymptoten, die im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen auftreten.

Definition 

Eine Funktion, der sich eine andere Funktion bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert, heißt Asymptote.

Arten 

Bei gebrochenrationalen Funktionen spielen folgende vier Arten eine Rolle:

* Eine senkrechte Asymptote ist ein Sonderfall, da es sich dabei nicht um den Graphen einer Funktion handelt. Eine Funktion liegt nämlich nur dann vor, wenn jedem $x \in \mathbb{D}$ genau ein $y \in \mathbb{W}$ zugeordnet ist. Eine Senkrechte dagegen ordnet einem $x$ unendlich viele $y$ zu.

Senkrechte Asymptote 

Beispiel 1 

Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft senkrecht (siehe rote Linie).

Abb. 1 / Senkrechte Asymptote 

Waagrechte Asymptote 

Beispiel 2 

Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft waagrecht (siehe rote Linie).

Abb. 2 / Waagrechte Asymptote 

Schiefe Asymptote 

Beispiel 3 

Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft schief (siehe rote Linie).

Abb. 3 / Schiefe Asymptote 

Asymptotische Kurve 

Beispiel 4 

Kurve, der sich eine andere Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert (siehe rote Kurve).

Abb. 4 / Asymptotische Kurve 

Berechnung 

Die folgende Tabelle nennt für jede Asymptotenart die Bedingung, die erfüllt sein muss, damit die Asymptote existiert.

AsymptoteBedingung
Senkrechte AsymptoteNullstellen des Nenners (Definitionslücken)
Waagrechte AsymptoteZählergrad < Nennergrad oder
Zählergrad = Nennergrad
Schiefe AsymptoteZählergrad = Nennergrad + 1
Asymptotische KurveZählergrad > Nennergrad + 1

In den nächsten Kapiteln schauen wir uns für jede der oben genannten Asymptoten ein Berechnungsverfahren an.

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