Über 80 € Preisvorteil gegenüber Einzelkauf!
Mathe-eBooks im Sparpaket
Von Schülern, Studenten, Eltern und
Lehrern mit 4,86/5 Sternen bewertet.
47 PDF-Dateien mit über 5000 Seiten
inkl. 1 Jahr Updates für nur 29,99 €.
Ab dem 2. Jahr nur 14,99 €/Jahr.
Kündigung jederzeit mit wenigen Klicks.
Jetzt Mathebibel herunterladen

Asymptotische Kurve

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine asympotische Kurve ist.

Definition 

Eine Kurve, der sich eine andere Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert, heißt asymptotische Kurve.

Bedingung 

Eine gebrochenrationale Funktion

$$ y = \frac{a_n x^{\fcolorbox{Red}{}{$n$}} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^{\fcolorbox{Red}{}{$m$}} + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0} $$

besitzt eine asymptotische Kurve, wenn

Zählergrad > Nennergrad + 1 ($n > m + 1$)
(Zählergrad um mehr als $1$ größer als der Nennergrad)

Anleitung 

Zählergrad und Nennergrad bestimmen

Polynomdivision

Grenzwertbetrachtung

zu 1)

Wir prüfen, ob die Bedingung für eine asymptotische Kurve erfüllt ist.

zu 2)

Die Gleichung der asymptotischen Kurve erhalten wir, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen. Dabei handelt es sich um eine Polynomdivision.

zu 3)

Hauptkapitel: Grenzwert und Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion

Beispiel 

Beispiel 1 

Überprüfe, ob die gebrochenrationale Funktion

$$ f(x) = \frac{x^3 + 1}{x - 1} $$

eine asymptotische Kurve hat und gib diese ggf. an.

Zählergrad und Nennergrad bestimmen

Da der Zählergrad ($3$) um mehr als eine Einheit größer ist als der Nennergrad ($1$), besitzt die gebrochenrationale Funktion eine asymptotische Kurve.

Polynomdivision

$$ \begin{array}{l} \quad x^3 \qquad \qquad \: \: + 1:(x - 1)= {\color{red}x^2 + x + 1}+{\color{blue}\frac{2}{x-1}} \\ -(x^3 - x^2) \\ \qquad \quad \: \: x^2 \\ \qquad \: \: -(x^2-x) \\ \qquad\qquad \quad \: \: \: \: x + 1 \\ \qquad\qquad \: \: \: -(x-1) \\ \qquad\qquad\qquad \quad \: \: 2 \end{array} $$

Grenzwertbetrachtung

Da der Nennergrad des Bruchs (ganz rechts im Ergebnis der Polynomdivision) größer ist als der Zählergrad, wird dieser Restterm für sehr große $x$-Werte immer kleiner und nähert sich Null an:

$$ \lim_{x\to \pm\infty}\left({\color{blue}\frac{2}{x-1}}\right) = 0 $$

Der Graph der Funktion strebt deshalb gegen die asymptotische Kurve mit der Gleichung

$$ y = {\color{red}x^2 + x + 1} $$

Dabei handelt es sich in diesem Fall um eine Parabel, also den Graphen einer quadratischen Funktion.

Graphische Darstellung

Abb. 1 

Noch Fragen? Logo von Easy-Tutor hilft!

Probestunde sichern