Gebrochen­rationale Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was gebrochenrationale Funktionen sind.

Erforderliches Vorwissen

Bestandteile 

Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.

Funktionsgleichung 

Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung

$$ f(x) = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0} $$

heißt gebrochenrationale Funktion.

Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, bei der sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eines Bruchs eine ganzrationale Funktion befindet. Zu den ganzrationalen Funktionen zählen u. a. lineare Funktionen und quadratische Funktionen.

Beispiel 1 

$$ f(x) = \frac{x^4}{x-1} $$

Beispiel 2 

$$ f(x) = \frac{x + 4}{x^3+x} $$

Beispiel 3 

$$ f(x) = \frac{x^2 - 5x + 3}{x^2 + 4x - 5} $$

Definitionsmenge 

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.

In gebrochenrationale Funktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen – außer die, für die der Nenner gleich Null wird – einsetzen:

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{\text{Nullstellen der Nennerfunktion}\} $$

Zur Erinnerung: Eine Division durch Null ist nicht erlaubt!

Beispiel 4 

Gegeben sei die Funktion

$$ f(x) = \frac{x^4}{x-1} $$

Bestimme die Definitionsmenge.

Nennerfunktion gleich Null setzen

$$ x - 1 = 0 $$

Gleichung lösen

Wir lösen die lineare Gleichung durch Äquivalenzumformung:

$$ \begin{align*} x - 1 &= 0 &&|\, +1 \\[5px] x &= 1 \end{align*} $$

Definitionsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{1\} $$

Beispiel 5 

Gegeben sei die Funktion

$$ f(x) = \frac{x + 4}{x^3+x} $$

Bestimme die Definitionsmenge.

Nennerfunktion gleich Null setzen

$$ x^3 + x = 0 $$

Gleichung lösen

Durch Ausklammern von $x$ erhalten wir

$$ x(x^2 + 1) = 0 $$

Mithilfe des Satzes vom Nullprodukt erhalten wir als einzige Lösung

$$ x = 0 $$

Definitionsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{0\} $$

Beispiel 6 

Gegeben sei die Funktion

$$ f(x) = \frac{x^2 - 5x + 3}{x^2 + 4x - 5} $$

Bestimme die Definitionsmenge.

Nennerfunktion gleich Null setzen

$$ x^2 + 4x - 5 = 0 $$

Gleichung lösen

Wir lösen die quadratische Gleichung mit einem der bekannten Verfahren und erhalten

$$ x_1 = -5 $$

$$ x_2 = 1 $$

Definitionsmenge aufschreiben

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{-5; 1\} $$

Wertemenge 

Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.

Bei gebrochenrationalen Funktionen lässt sich keine allgemeine Aussage über die Wertemenge machen.

Die Wertemenge ist von der jeweiligen Funktion abhängig.

Eigenschaften 

Definitionslücken 

Dort, wo der Nenner gleich Null wird, hat der Graph eine Definitionslücke.

Wir unterscheiden zwei Arten von Definitionslücken:

Asymptoten 

Manche Graphen von gebrochenrationalen Funktionen nähern sich für $x \to \infty$ (sprich: x gegen unendlich) einer Gerade oder Kurve an.

Der Fachbegriff für diese Gerade oder Kurve ist Asymptote.

Wir unterscheiden vier Arten von Asymptoten:

Abb. 1 / Senkrechte Asymptote 
Abb. 2 / Waagrechte Asymptote 
Abb. 3 / Schiefe Asymptote 
Abb. 4 / Asymptotische Kurve 

Um herauszufinden, welche Art von Asymptote bei einer bestimmten gebrochen­rationalen Funktion vorliegt, müssen wir den Zähler- und den Nennergrad bestimmen.

Zählergrad & Nennergrad 

Der höchste Exponent im Zähler einer gebrochenrationalen Funktion heißt Zählergrad.

Beispiel 7 

Der Zählergrad der gebrochenrationalen Funktion

$$ f(x) = \frac{x^{\color{red}3} + 4x^2 - 7}{x^2 + 3} $$

ist ${\color{red}3}$.

Der höchste Exponent im Nenner einer gebrochenrationalen Funktion heißt Nennergrad.

Beispiel 8 

Der Nennergrad der gebrochenrationalen Funktion

$$ f(x) = \frac{x^3 + 4x^2 - 7}{x^{\color{red}2} + 3} $$

ist ${\color{red}2}$.

Ausblick 

Im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen:

Kriterium
Zählergrad bestimmenHöchster Exponent im Zähler
Nennergrad bestimmenHöchster Exponent im Nenner
Asymptoten berechnen
- Senkrechte AsymptoteNullstellen des Nenners (Definitionslücken)
- Waagrechte AsymptoteZählergrad < Nennergrad oder
Zählergrad = Nennergrad
- Schiefe AsymptoteZählergrad = Nennergrad + 1
- Asymptotische KurveZählergrad > Nennergrad + 1
Nullstellen$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad P(x_0) = 0 \text{ und } Q(x_0) \neq 0$
Polstelle$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) \neq 0$
Hebbare Definitionslücke$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) = 0$
Grenzwert
Partialbruchzerlegung

Vergewissere dich, dass du sowohl graphisch als auch rechnerisch die Begriffe Nullstelle, Definitionslücke, Polstelle und Hebbare Definitionslücke voneinander abgrenzen kannst. Auch den Unterschied zwischen einer Polstelle und einer waagrechten Asymptote solltest du dir bewusst machen. All das wird in den oben genannten Kapiteln ausführlich erklärt.

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