Verknüpfung von Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns die Verknüpfung von Funktionen an.
Kontext
Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.
Verknüpfung von Funktionen
- Summe (\(f + g\))
- Differenz (\(f - g\))
- Produkt (\(f \cdot g\))
- Quotient (\(\frac{f}{g}\))
- Verkettung (\(f \circ g\))
Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.
Beispiele zur Verknüpfung von Funktionen
Im Folgenden schauen wir uns für jede Art von Funktionenverknüpfung ein einfaches Beispiel an.
Aufgabenstellung
Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) (\(\mathbb{D_f} = \mathbb{R}\)) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\) (\(\mathbb{D_g} = \mathbb{R}\)).
Notwendiges Vorwissen
Um die folgenden Beispiele, insbesondere die Berechnung der Definitionsmengen der neuen Funktionen, nachvollziehen zu können, solltest du dich in der Mengenlehre auskennen.
a) Summe von Funktionen
Sei \(h\) die Summe aus \(f\) und \(g\), so gilt:
\(\begin{align*}
h(x)
&= f(x) + g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) + (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 2 + 1\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 1
\end{align*}\)
Für die Definitionsmenge der Summenfunktion \(h\) gilt:
\(\begin{align*}
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)
Weiterführende Informationen
Summe von Funktionen
b) Differenz von Funktionen
Sei \(h\) die Differenz aus \(f\) und \(g\), so gilt:
\(\begin{align*}
h(x)
&= f(x) - g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) - (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 - 3x^2 + 2\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 2 + 1\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 3
\end{align*}\)
Für Definitionsmenge der Differenzfunktion \(h\) gilt:
\(\begin{align*}
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)
Weiterführende Informationen
Differenz von Funktionen
c) Produkt von Funktionen
Sei \(h\) das Produkt aus \(f\) und \(g\), so gilt:
\(\begin{align*}
h(x)
&= f(x) \cdot g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) \cdot (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 6x^3 - 4x + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 6x^3 + 3x^2 - 4x - 2
\end{align*}\)
Für Definitionsmenge der Produktfunktion \(h\) gilt:
\(\begin{align*}
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)
Weiterführende Informationen
Produkt von Funktionen
d) Quotient von Funktionen
Sei \(h\) der Quotient aus \(f\) und \(g\), so gilt:
\(\begin{align*}
h(x)
&= \frac{f(x)}{g(x)}\\[5px]
&= \frac{2x + 1}{3x^2 - 2}
\end{align*}\)
Für Definitionsmenge der Quotientenfunktion \(h\) gilt:
\(\mathbb{D}_h = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\)
\(\mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\) heißt übersetzt:
„Die Definitionsmenge von \(g\) ohne die Menge aller \(x\), für die gilt: \(g(x)\) gleich Null.“
Warum so kompliziert? Ganz einfach: Durch Null teilen ist nicht erlaubt! Deshalb müssen wir alle \(x\) ausschließen, für die der Nenner des Bruchs, also in diesem Fall \(g(x)\), gleich Null wird.
Nebenrechnung: Wann wird der Nenner gleich Null?
\(\begin{align*}
&3x^2 - 2 = 0 &&{\color{gray}|-2}\\[5px]
&3x^2 = 2 &&{\color{gray}|:3}\\[5px]
&x^2 = \frac{2}{3} &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{x}}}\\[5px]
&x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}
\end{align*}\)
Für unser Beispiel gilt folglich:
\(\begin{align*}
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}
\end{align*}\)
Weiterführende Informationen
Quotient von Funktionen
e) Verkettung von Funktionen
(Die Verkettung aus \(f\) und \(g\) entspricht dem Einsetzen von \(g\) in \(f\).)
Sei \(h\) die Verkettung aus \(f\) und \(g\), so gilt:
\(\begin{align*}
h(x)
&= f({\color{#E8960C}g(x)})\\[5px]
&= 2({\color{#E8960C}3x^2 - 2}) + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 4 + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 3
\end{align*}\)
Weiterführende Informationen
Verkettung von Funktionen
Überblick: Verknüpfungen von Funktionen
| Summe von Funktionen | \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\) |
| Differenz von Funktionen | \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\) |
| Produkt von Funktionen | \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\) |
| Quotient von Funktionen | \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) |
| Verkettung von Funktionen | \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) |
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider