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Exponentialfunktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Exponentialfunktionen sind.

Im Unterschied zu den Potenzfunktionen (z. B. \(y = x^2\)), bei denen die Variable in der Basis ist, steht bei Exponentialfunktionen (z. B. \(y = 2^x\)) die Variable im Exponenten.

Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion ist \(y = a^x\).
(mit \(a \in \mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\) und \(x \in \mathbb{R}\))

Wegen \(y = f(x)\) schreibt man auch häufig \(f(x) = a^x\).

Warum darf die Basis nicht gleich 1 sein?

Für \(a = 1\) wird die Exponentialfunktion zu einer konstanten Funktion: \(f(x) = 1^x = 1\).

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{y} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array}

Die obige Wertetabelle zeigt, dass der \(y\)-Wert der Funktion \(f(x) = 1^x\) immer 1 ist.





Der Graph der Funktion \(f(x) = 1^x\)
ist eine Parallele zur x-Achse.

Warum darf die Basis nicht negativ sein?

Die Funktion \(f(x) = (-2)^x\) würde für \(x = \frac{1}{2}\) zu dem Funktionwert \(y = (-2)^{\frac{1}{2}}\) führen.
Laut einem der Wurzelgesetze gilt: \((-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-2}\).

Für negative Radikanden ist das Wurzelziehen allerdings nicht definiert! (> Wurzeln)

Graph einer Exponentialfunktion

Der Graph einer Exponentialfunktion heißt Exponentialkurve.

Die Exponentialkurven unterscheiden sich danach, ob die Basis \(a\)

  • zwischen 0 und 1 liegt oder
  • größer als 1 ist.

a) Basis \(a\) zwischen 0 und 1

Gilt \(0 < a < 1\), so spricht man von exponentieller Abnahme.

Beispiel

\[f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\]

Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{y} & 8 & 4 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\
\end{array}




Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\]

Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:

  • Je größer \(x\), desto kleiner \(y\) \(\Rightarrow\) Der Graph ist streng monoton fallend!
  • Der Graph schmiegt sich an den positiven Teil der x-Achse.

b) Basis \(a\) größer als 1

Gilt \(a > 1\), so spricht man von exponentiellem Wachstum.

Beispiel

\[g(x) = 2^x\]

Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{y} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 & 8 \\
\end{array}




Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[g(x) = 2^x\]

Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:

  • Je größer \(x\), desto größer \(y\) \(\Rightarrow\) Der Graph ist streng monoton steigend!
  • Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der x-Achse.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Wenn wir die beiden Funktionen \(f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) und \(g(x) = 2^x\) in dasselbe Koordinatensystem zeichnen, können wir einige Eigenschaften beobachten.




Die Abbildung zeigt folgende Graphen
\(f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\) und \(g(x) = 2^x\)

  1. Alle Exponentialkurven verlaufen oberhalb der x-Achse.
    \(\Rightarrow\) Die Wertemenge der Exponentialfunktion ist \(\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}\).
  2. Alle Exponentialkurven kommen der x-Achse beliebig nahe.
    \(\Rightarrow\) Die x-Achse ist waagrechte Asymptote der Exponentialkurve.
  3. Alle Exponentialkurven schneiden die y-Achse im Punkt (0|1).
    (Laut einem Potenzgesetz gilt nämlich: \(a^0 = 1\).)
    \(\Rightarrow\) Der y-Achsenabschnitt der Exponentialfunktion ist \(y = 1\).
  4. Exponentialkurven haben keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
    \(\Rightarrow\) Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen!

Besondere Eigenschaft 1 (Achsensymmetrie)

Die Exponentialfunktionen \(f(x) = \left(\frac{1}{a}\right)^x\) und \(g(x) = a^x\) sind bezüglich der y-Achse achsensymmetrisch. Nachweis der Achsensymmetrie zur y-Achse:
\(f(-x) = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x} = a^{x} = g(x)\)
Um den Nachweis zu verstehen, musst du die Potenzgesetze beherrschen.

Besondere Eigenschaft 2 (Zusammenhang zwischen x- und y-Wert)

Der Funktionswert \(y = f(x)\) einer Exponentialfunktion ändert sich folgendermaßen, wenn man

  • \(x\) um 2 vergrößert:
    \(f(x+2) = a^{x + 2} = a^2 \cdot a^x = a^2 \cdot f(x)\)
  • \(x\) um 2 verkleinert:
    \(f(x-2) = a^{x - 2} = a^{-2} \cdot a^x = a^{-2} \cdot f(x)\)
  • \(x\) verdoppelt (= mit 2 multpliziert):
    \(f(2x) = a^{2x} = \left(a^x\right)^2 = (f(x))^2\)
  • \(x\) halbiert (= durch 2 dividiert):
    \(f(\frac{1}{2}x) = a^{\frac{1}{2}x} = \left(a^x\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{f(x)}\)

Bei der Berechnung von Funktionswerten ist vor allem der 1. Fall von Bedeutung:
\(a^{x + s} = a^s \cdot a^x = a^s \cdot f(x)\)

Werden bei einer Exponentialfunktion zur Basis \(a\) die \(x\)-Werte jeweils um einen festen Zahlenwert \(s \in \mathbb{R}\) vergrößert, so werden die Funktionswerte mit einem konstanten Faktor \(a^s\) vervielfacht.

Beispiel

Gegeben ist eine (fast) leere Wertetabelle zur Funktion \(f(x) = 2^x\).
Unser Ziel ist es, die Wertetabelle mit Hilfe der obigen Regel aufzufüllen.

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{y} & \frac{1}{8} & & & & & & \\
\end{array}

Steigt der \(x\)-Wert um \(s = 1\),
vielvielfacht sich der Funktionswert mit dem konstanten Faktor \(a^s = 2^1 = 2\):

\(f(-2) = 2 \cdot f(-3) = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}\)

\(f(-1) = 2 \cdot f(-2) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)

\(f(0) = 2 \cdot f(-1) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\)

\(f(1) = 2 \cdot f(0) = 2 \cdot 1 = 2\)

\(f(2) = 2 \cdot f(1) = 2 \cdot 2 = 4\)

\(f(3) = 2 \cdot f(2) = 2 \cdot 4 = 8\)

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{y} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 & 8 \\
\end{array}

In der Fachliteratur wird diese Regel allgemein so geschrieben: \(f(x+y) = f(x) \cdot f(y)\).
Diese Gleichung wird auch als „Funktionalgleichung der Exponentialfunktion“ bezeichnet.

Beispiel (Fortsetzung)

Ist \(f(x) = 2^x\), dann ist \(f(1+2)\):

\(f(1+2) = f(1) \cdot f(2) = 2^1 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8 = f(3)\)

Der Summe zweier Zahlen wird das Produkt ihrer Funktionswerte zugeordnet.

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften

Funktionsgleichung \(f(x) = a^x \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\)
Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)
Wertemenge \(\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}\)
Asymptote \(y = 0\) (also die x-Achse)
Schnittpunkt mit y-Achse
\(P(0|1)\) (wegen \(f(0) = a^0 = 1\))
Schnittpunkte mit x-Achse keine!
Monotonie \(0 < a < 1\): streng monoton fallend
\(a > 1\): streng monoton steigend
Umkehrfunktion Logarithmusfunktion \(f(x) = \log_{a}x\)

Die bekannteste Exponentialfunktion ist die natürliche Exponentialfunktion, die sog. e-Funktion.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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