Exponential­funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Exponentialfunktionen sind.

Erforderliches Vorwissen

Bestandteile 

Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.

Funktionsgleichung 

Im Unterschied zu Potenzfunktionen (z. B. $y = x^2$), bei denen die Variable in der Basis ist, steht bei Exponentialfunktionen (z. B. $y = 2^x$) die Variable im Exponenten.

Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung

$$ y = a^x \quad \text{ mit } a \in \mathbb{R}^{+}\setminus\{1\} $$

heißt Exponentialfunktion.

Wegen $y = f(x)$ schreibt man auch häufig $f(x) = a^x$.

Warum darf die Basis nicht gleich $1$ sein?

Laut den Potenzgesetzen gilt: $1^x = 1$.

Für $a = 1$ wird die Exponentialfunktion zu einer konstanten Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x) = 1^x = 1$:

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{y} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} $$

Die obige Wertetabelle zeigt, dass der $y$-Wert der Funktion $f(x) = 1^x$ immer $1$ ist.

Der Graph der Funktion $f(x) = 1^x$ ist eine Parallele zur $x$-Achse.

Abb. 1 

Warum darf die Basis nicht negativ sein?

Beispiel 1 

Die Funktion $f(x) = (-2)^x$ würde für $x = \frac{1}{2}$ zu dem Funktionwert $y = (-2)^{\frac{1}{2}}$ führen.

Laut einem der Wurzelgesetze gilt: $(-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-2}$.

Für negative Radikanden ist das Wurzelziehen allerdings nicht definiert!

Definitionsmenge 

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.

In Exponentialfunktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$

Wertemenge 

Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.

Bei Exponentialfunktionen kommt am Ende immer eine positive reelle Zahl heraus:

$$ \mathbb{W}_f = \mathbb{R}^{+} $$

Graph 

Der Graph einer Exponentialfunktion heißt Exponentialkurve.

Die Exponentialkurven unterscheiden sich danach, ob die Basis $a$

  • zwischen $0$ und $1$ liegt oder
  • größer als $1$ ist.

Basis $a$ zwischen 0 und 1 

Gilt $0 < a < 1$, so spricht man von exponentieller Abnahme.

Beispiel 2 

$$ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x $$

Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{y} & 8 & 4 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \end{array} $$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion

$$ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x $$

Abb. 2 

Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:

  • Je größer $x$, desto kleiner $y$ $\Rightarrow$ Der Graph ist streng monoton fallend!
  • Der Graph schmiegt sich an den positiven Teil der $x$-Achse.

Basis $a$ größer als 1 

Gilt $a > 1$, so spricht man von exponentiellem Wachstum.

Beispiel 3 

$$ g(x) = 2^x $$

Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{y} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \end{array} $$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion

$$ g(x) = 2^x $$

Abb. 3 

Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:

  • Je größer $x$, desto größer $y$ $\Rightarrow$ Der Graph ist streng monoton steigend!
  • Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der $x$-Achse.

Eigenschaften 

Wenn wir die beiden Funktionen

$$ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x $$

und

$$ g(x) = 2^x $$

in dasselbe Koordinatensystem zeichnen, können wir einige Eigenschaften beobachten.

Abb. 4 
  1. Alle Exponentialkurven verlaufen oberhalb der $x$-Achse.
    $\Rightarrow$ Die Wertemenge der Exponentialfunktion ist $\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}$.
  2. Alle Exponentialkurven kommen der $x$-Achse beliebig nahe.
    $\Rightarrow$ Die $x$-Achse ist waagrechte Asymptote der Exponentialkurve.
  3. Alle Exponentialkurven schneiden die $y$-Achse im Punkt $(0|1)$.
    (Laut einem Potenzgesetz gilt nämlich: $a^0 = 1$.)
    $\Rightarrow$ Der $y$-Achsenabschnitt der Exponentialfunktion ist $y = 1$.
  4. Exponentialkurven haben keinen Schnittpunkt mit der $x$-Achse.
    $\Rightarrow$ Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen!

Darüber hinaus gibt es noch zwei weitere interessante Eigenschaften:

Achsensymmetrie 

Die Exponentialfunktionen $f(x) = \left(\frac{1}{a}\right)^x$ und $g(x) = a^x$ sind bezüglich der $y$-Achse achsensymmetrisch.

Nachweis der Achsensymmetrie zur $y$-Achse:

$$ f(-x) = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x} = (a^{-1})^{-x} = a^{(-1) \cdot (-x)} = a^{x} = g(x) $$

Um den Nachweis zu verstehen, musst du die Potenzgesetze beherrschen.

Zusammenhang zwischen $x$- und $y$-Wert 

Der Funktionswert $y = f(x)$ einer Exponentialfunktion ändert sich folgendermaßen, wenn man

Veränderung von $\boldsymbol{x}$Auswirkung auf Funktionswert
$x$ um $2$ vergrößert$$f(x+2) = a^{x + 2} = a^2 \cdot a^x = a^2 \cdot f(x)$$
$x$ um $2$ verkleinert$$f(x-2) = a^{x - 2} = a^{-2} \cdot a^x = a^{-2} \cdot f(x)$$
$x$ mit $2$ multipliziert
(Verdopplung)
$$f(2x) = a^{2x} = \left(a^x\right)^2 = (f(x))^2$$
$x$ durch $2$ dividiert
(Halbierung)
$$f(\tfrac{1}{2}x) = a^{\frac{1}{2}x} = \left(a^x\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{f(x)}$$

Bei der Berechnung von Funktionswerten ist vor allem der 1. Fall von Bedeutung:

$$ a^{x + s} = a^s \cdot a^x = a^s \cdot f(x) $$

Werden bei einer Exponentialfunktion zur Basis $a$ die $x$-Werte jeweils um einen festen Zahlenwert $s \in \mathbb{R}$ vergrößert, so werden die Funktionswerte mit einem konstanten Faktor $a^s$ vervielfacht.

Beispiel 4 

Gegeben sei eine (fast) leere Wertetabelle zur Funktion $f(x) = 2^x$:

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{y} & \frac{1}{8} & & & & & & \\ \end{array} $$

Unser Ziel ist es, die Wertetabelle mithilfe der obigen Regel aufzufüllen.

Steigt der $x$-Wert um $s = 1$, vervielfacht sich der Funktionswert mit dem konstanten Faktor $a^s = 2^1 = 2$:

$$ f(-2) = 2 \cdot f(-3) = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4} $$

$$ f(-1) = 2 \cdot f(-2) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $$

$$ f(0) = 2 \cdot f(-1) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$

$$ f(1) = 2 \cdot f(0) = 2 \cdot 1 = 2 $$

$$ f(2) = 2 \cdot f(1) = 2 \cdot 2 = 4 $$

$$ f(3) = 2 \cdot f(2) = 2 \cdot 4 = 8 $$

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{y} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \end{array} $$

In der Fachliteratur wird diese Regel allgemein so geschrieben:

$$ f(x+y) = f(x) \cdot f(y) $$

Der Summe zweier Zahlen wird das Produkt ihrer Funktionswerte zugeordnet.

Diese Gleichung heißt Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.

Beispiel 5 

Ist $f(x) = 2^x$, dann ist $f(1+2)$:

$$ \begin{align*} f(1+2) &= f(1) \cdot f(2) \\[5px] &= 2^1 \cdot 2^2 \\[5px] &= 2 \cdot 4 \\[5px] &= 8 \\[5px] &= f(3) \end{align*} $$

Zusammenfassung 

Funktionsgleichung$f(x) = a^x \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$
Definitionsmenge$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Wertemenge$\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}$
Asymptote$y = 0$ ($x$-Achse)
Schnittpunkt mit $y$-Achse$P(0|1)$ (wegen $f(0) = a^0 = 1$)
Schnittpunkte mit $x$-AchseEs gibt keine!
Monotonie$0 < a < 1$: streng monoton fallend
$a > 1$: streng monoton steigend
Umkehrfunktion$f(x) = \log_{a}x$
(Logarithmusfunktion)

Die bekannteste Exponentialfunktion ist die natürliche Exponentialfunktion, die sog. e-Funktion.

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