Exponentialfunktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Exponentialfunktionen sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
Bestandteile
Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.
Funktionsgleichung
Im Unterschied zu Potenzfunktionen (z. B. $y = x^2$), bei denen die Variable in der Basis ist, steht bei Exponentialfunktionen (z. B. $y = 2^x$) die Variable im Exponenten.
Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung
$$ y = a^x \quad \text{ mit } a \in \mathbb{R}^{+}\setminus\{1\} $$
heißt Exponentialfunktion.
Wegen $y = f(x)$ schreibt man auch häufig $f(x) = a^x$.
Warum darf die Basis nicht gleich $1$ sein?
Laut den Potenzgesetzen gilt: $1^x = 1$.
Für $a = 1$ wird die Exponentialfunktion zu einer konstanten Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x) = 1^x = 1$:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{y} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} $$
Die obige Wertetabelle zeigt, dass der $y$-Wert der Funktion $f(x) = 1^x$ immer $1$ ist.
Warum darf die Basis nicht negativ sein?
Die Funktion $f(x) = (-2)^x$ würde für $x = \frac{1}{2}$ zu dem Funktionwert $y = (-2)^{\frac{1}{2}}$ führen.
Laut einem der Wurzelgesetze gilt: $(-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-2}$.
Für negative Radikanden ist das Wurzelziehen allerdings nicht definiert!
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.
In Exponentialfunktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$
Wertemenge
Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.
Bei Exponentialfunktionen kommt am Ende immer eine positive reelle Zahl heraus:
$$ \mathbb{W}_f = \mathbb{R}^{+} $$
Graph
Der Graph einer Exponentialfunktion heißt Exponentialkurve.
Die Exponentialkurven unterscheiden sich danach, ob die Basis $a$
- zwischen
$0$und$1$liegt oder - größer als
$1$ist.
Basis $a$ zwischen 0 und 1
Gilt $0 < a < 1$, so spricht man von exponentieller Abnahme.
$$ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x $$
Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{y} & 8 & 4 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \end{array} $$
Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:
- Je größer
$x$, desto kleiner$y$$\Rightarrow$Der Graph ist streng monoton fallend! - Der Graph schmiegt sich an den positiven Teil der
$x$-Achse.
Basis $a$ größer als 1
Gilt $a > 1$, so spricht man von exponentiellem Wachstum.
$$ g(x) = 2^x $$
Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{y} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \end{array} $$
Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:
- Je größer
$x$, desto größer$y$$\Rightarrow$Der Graph ist streng monoton steigend! - Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der
$x$-Achse.
Eigenschaften
Wenn wir die beiden Funktionen
$$ f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x $$
und
$$ g(x) = 2^x $$
in dasselbe Koordinatensystem zeichnen, können wir einige Eigenschaften beobachten.
- Alle Exponentialkurven verlaufen oberhalb der
$x$-Achse.$\Rightarrow$Die Wertemenge der Exponentialfunktion ist$\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}$. - Alle Exponentialkurven kommen der
$x$-Achse beliebig nahe.$\Rightarrow$Die$x$-Achse ist waagrechte Asymptote der Exponentialkurve. - Alle Exponentialkurven schneiden die
$y$-Achse im Punkt$(0|1)$.
(Laut einem Potenzgesetz gilt nämlich:$a^0 = 1$.)$\Rightarrow$Der$y$-Achsenabschnitt der Exponentialfunktion ist$y = 1$. - Exponentialkurven haben keinen Schnittpunkt mit der
$x$-Achse.$\Rightarrow$Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen!
Darüber hinaus gibt es noch zwei weitere interessante Eigenschaften:
Achsensymmetrie
Die Exponentialfunktionen $f(x) = \left(\frac{1}{a}\right)^x$ und $g(x) = a^x$ sind bezüglich der $y$-Achse achsensymmetrisch.
Nachweis der Achsensymmetrie zur $y$-Achse:
$$ f(-x) = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x} = (a^{-1})^{-x} = a^{(-1) \cdot (-x)} = a^{x} = g(x) $$
Um den Nachweis zu verstehen, musst du die Potenzgesetze beherrschen.
Zusammenhang zwischen $x$- und $y$-Wert
Der Funktionswert $y = f(x)$ einer Exponentialfunktion ändert sich folgendermaßen, wenn man
Veränderung von $\boldsymbol{x}$ | Auswirkung auf Funktionswert |
|---|---|
$x$ um $2$ vergrößert | $$f(x+2) = a^{x + 2} = a^2 \cdot a^x = a^2 \cdot f(x)$$ |
$x$ um $2$ verkleinert | $$f(x-2) = a^{x - 2} = a^{-2} \cdot a^x = a^{-2} \cdot f(x)$$ |
$x$ mit $2$ multipliziert(Verdopplung) | $$f(2x) = a^{2x} = \left(a^x\right)^2 = (f(x))^2$$ |
$x$ durch $2$ dividiert(Halbierung) | $$f(\tfrac{1}{2}x) = a^{\frac{1}{2}x} = \left(a^x\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{f(x)}$$ |
Bei der Berechnung von Funktionswerten ist vor allem der 1. Fall von Bedeutung:
$$ a^{x + s} = a^s \cdot a^x = a^s \cdot f(x) $$
Werden bei einer Exponentialfunktion zur Basis $a$ die $x$-Werte jeweils um einen festen Zahlenwert $s \in \mathbb{R}$ vergrößert, so werden die Funktionswerte mit einem konstanten Faktor $a^s$ vervielfacht.
Gegeben sei eine (fast) leere Wertetabelle zur Funktion $f(x) = 2^x$:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{y} & \frac{1}{8} & & & & & & \\ \end{array} $$
Unser Ziel ist es, die Wertetabelle mithilfe der obigen Regel aufzufüllen.
Steigt der $x$-Wert um $s = 1$,
vervielfacht sich der Funktionswert mit dem konstanten Faktor $a^s = 2^1 = 2$:
$$ f(-2) = 2 \cdot f(-3) = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4} $$
$$ f(-1) = 2 \cdot f(-2) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $$
$$ f(0) = 2 \cdot f(-1) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$
$$ f(1) = 2 \cdot f(0) = 2 \cdot 1 = 2 $$
$$ f(2) = 2 \cdot f(1) = 2 \cdot 2 = 4 $$
$$ f(3) = 2 \cdot f(2) = 2 \cdot 4 = 8 $$
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{y} & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \end{array} $$
In der Fachliteratur wird diese Regel allgemein so geschrieben:
$$ f(x+y) = f(x) \cdot f(y) $$
Der Summe zweier Zahlen wird das Produkt ihrer Funktionswerte zugeordnet.
Diese Gleichung heißt Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
Ist $f(x) = 2^x$, dann ist $f(1+2)$:
$$ \begin{align*} f(1+2) &= f(1) \cdot f(2) \\[5px] &= 2^1 \cdot 2^2 \\[5px] &= 2 \cdot 4 \\[5px] &= 8 \\[5px] &= f(3) \end{align*} $$
Zusammenfassung
| Funktionsgleichung | $f(x) = a^x \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$ |
| Definitionsmenge | $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ |
| Wertemenge | $\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}$ |
| Asymptote | $y = 0$ ($x$-Achse) |
Schnittpunkt mit $y$-Achse | $P(0|1)$ (wegen $f(0) = a^0 = 1$) |
Schnittpunkte mit $x$-Achse | Es gibt keine! |
| Monotonie | $0 < a < 1$: streng monoton fallend$a > 1$: streng monoton steigend |
| Umkehrfunktion | $f(x) = \log_{a}x$(Logarithmusfunktion) |
Die bekannteste Exponentialfunktion ist die natürliche Exponentialfunktion, die sog. e-Funktion.
