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Exponentielles Wachstum

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was exponentielles Wachstum ist.

Notwendiges Vorwissen: Prozentuale Zunahme

Für exponentielles Wachstum ist eine konstante prozentuale Zunahme
in gleichen Zeitspannen charakteristisch.

Exponentielles Wachstum wird durch Exponentialfunktionen beschrieben.

Beispiel

Auf unserem Sparbuch befinden sich derzeit 1000 €.
Pro Jahr bekommen wir 5 % Zinsen auf das Kapital, d. h.
unser Vermögen wächst konstant um 5 % pro Jahr.

Zu Beginn (im Zeitpunkt 0) haben wir 1000 €. Danach gilt:

1. Jahr: 1050,00 €   (= 1000,00 € + 1000,00 € \(\cdot\) 5 %)
2. Jahr: 1102,50 €   (= 1050,00 € + 1050,00 € \(\cdot\) 5 %)
3. Jahr: 1157,625 € (= 1102,50 € + 1102,50 € \(\cdot\) 5 %)
...

Mathematisch betrachtet handelt es sich dabei um eine Zuordnung:
Jedem Jahr wird ein Vermögen eindeutig zugeordnet.

\(\begin{array}{r|c|c|c|c}
\text{Jahr } x & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{Vermögen } y & 1000 & 1050 & 1102,5 & 1157,625 \\
\end{array}\)

Mit Hilfe der obigen Wertetabelle können wir einen Graphen zeichnen.



Die Abbildung zeigt den Graphen der

- Zuordnung mit der Zuordnungsvorschrift:
   \(x \longmapsto 1000 \cdot 1,05^x\)

- Funktion mit der Funktionsgleichung:
   \(f(x) = 1000 \cdot 1,05^x\)

Wir erinnern uns:

Der Graph einer Exponentialfunktion ist eine Exponentialkurve.

Im Rahmen des exponentiellen Wachstums haben wir es mit steigenden Kurven zu tun.

Exponentielles Wachstum: Darstellungsform

Statt \(f(x)\) schreibt man im Zusammenhang mit Wachstum häufig \(B(t)\).
\(B(t)\) ist eine Funktion, die den Bestand \(B\) in Abhängigkeit der Zeit \(t\) ausdrückt.

Im Folgenden lernen wir zwei Möglichkeiten kennen, um den Bestand \(B\) zu berechnen.

Wiederholung: Wachstumsfaktor

Für den Wachstumsfaktor \(q\) gilt: \(q = 1 + \frac{p}{100}\).

Beispiel

Ein Anstieg um 2 % entspricht einem Anstieg auf 102 %.

\(p\, \% = 2\, \% \quad \Rightarrow \quad q = 100\, \% + 2\, \% = 1 + \frac{2}{100} = 1,02\)

a) Rekursive Darstellung

Rekursiv bedeutet „auf bekannte Werte zurückgehend“: Um zum Beispiel \(B(3)\) zu berechnen, müssen wir \(B(2)\) kennen. Um \(B(2)\) zu berechnen, müssen wir \(B(1)\) kennen - und um \(B(1)\) zu berechnen, müssen wir \(B(0)\) kennen.

Exponentielles Wachstum: Rekursive Darstellung

\(B(t+1) = B(t) \cdot {\color{green}q} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{green}q > 1}\)

Beispiel

Die Stadt XYZ hat 250.000 Einwohner.
Die Einwohnerzahl steigt um 2 % pro Jahr.

Wie viele Menschen leben in der Stadt in 3 Jahren?

Die dazugehörige rekursive Funktionsgleichung ist \(B(t+1) = B(t) \cdot {\color{green}1,02}\).

\(B(0) = 250.000\)
\(B(1) = B(0) \cdot 1,02 = 250.000 \cdot 1,02 = 255.000\)
\(B(2) = B(1) \cdot 1,02 = 255.000 \cdot 1,02 = 260.100\)
\(B(3) = B(2) \cdot 1,02 = 260.100 \cdot 1,02 = 265.302\)

In 3 Jahren leben 265.302 Menschen in der Stadt XYZ.

b) Explizite Darstellung

Mit Hilfe der expliziten Darstellung ist es möglich, jeden Funktionswert sofort auszurechnen.

Exponentielles Wachstum: Explizite Darstellung

\(B(t) = B(0) \cdot {\color{green}q}^t \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \text{mit } {\color{green}q > 1}\)

Beispiel

Die Stadt XYZ hat 250.000 Einwohner.
Die Einwohnerzahl steigt um 2 % pro Jahr.

Wie viele Menschen leben in der Stadt in 3 Jahren?

Die dazugehörige explizite Funktionsgleichung ist \(B(t) = 250.000 \cdot {\color{green}1,02}^t\).

\(B(3) = 250.000 \cdot 1,02^3 = 265.302\)

In 3 Jahren leben 265.302 Menschen in der Stadt XYZ.

Exponentielles Wachstum: Änderungsrate

Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Messgröße G beschreibt das Ausmaß der Veränderung von G in einem bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer des Zeitraums.

Der Zeitraum zwischen zwei Zeitpunkten \(t_1\) und \(t_2\) ist \(\Delta t = t_2 - t_1\).
\(\Delta\) (Delta) ist das mathematische Zeichen für eine Differenz.

a) Absolute Änderungsrate

Den absoluten Zuwachs eines Bestands bezeichnet man als absolute Änderungsrate \(\Delta B(t)\).

Die konkrete Änderung eines Bestands berechnet sich zu \(\Delta B(t) = B(t+1) - B(t)\).

Herleitung der absoluten Änderungsrate für exponentielles Wachstum

\(\begin{align*}
\Delta B(t)
&= B(t+1) - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t+1) = B(t) \cdot q \text{ (= Rekursive Darstellung)}}\\
&= B(t) \cdot q - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t) \text{ ausklammern}}\\
&= B(t) \cdot (q-1)
\end{align*}\)

Exponentielles Wachstum: Absolute Änderungsrate

\(\Delta B(t) = B(t) \cdot ({\color{green}q}-1) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{green}q > 1}\)

b) Relative Änderungsrate

Die relative Änderungsrate setzt die Änderung des Bestands mit dem Anfangsbestand in Beziehung.

Exponentielles Wachstum: Relative Änderungsrate

\(\frac{\Delta B(t)}{B(t)} = {\color{green}q}-1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{green}q > 1}\)

\(\Rightarrow\) Die relative Änderungsrate \(\frac{\Delta B(t)}{B(t)}\) ist konstant.

\(\Rightarrow\) Die absolute Änderungsrate \(\Delta B(t)\) ist proportional zum aktuellen Bestand \(B(t)\).

Handelt es sich um exponentielles Wachstum?

In vielen Aufgaben ist eine Wertetabelle gegeben und man soll überprüfen, ob sie einen exponentiellen Zusammenhang abbildet. Zur Überprüfung eignet sich folgende Eigenschaft:

\[\frac{B(t+1)}{B(t)} = {\color{green}q} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; \; \text{mit } {\color{green}q > 1}\]

Der Quotient zweier Folgeglieder der Folge ist stets gleich.

Beispiel

\(\begin{array}{r|r|r|r|r}
t & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
B(t) & 1 & 2 & 4 & 8 \\
\end{array}\)

\(\frac{B(1)}{B(0)} = \frac{2}{1} = 2\)

\(\frac{B(2)}{B(1)} = \frac{4}{2} = 2\)

\(\frac{B(3)}{B(2)} = \frac{8}{4} = 2\)

Damit haben wir gezeigt, dass \(B(t)\) exponentiell wächst.

Wenn es sich um exponentielles Wachstum handelt, wird häufig nach der Verdopplungszeit gefragt: Das ist die Zeitspanne, nach der sich ein Anfangsbestand \(B(0)\) verdoppelt hat.

Lineares und exponentielles Wachstum

Zwischen linearem und exponentiellem Wachstum gibt es einige interessante Unterschiede:

  Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum
Charakteristikum Konstante Zunahme Konstante prozentuale Zunahme
Beschreibung durch Lineare Funktionen Exponentialfunktionen
Graph Steigende Gerade Steigende Exponentialkurve
Rekursive Darstellung \(B(t+1) = B(t) + {\color{green}m}\) \(B(t+1) = B(t) \cdot {\color{green}q}\)
Explizite Darstellung \(B(t) = {\color{green}m} \cdot t + b\) \(B(t) = B(0) \cdot {\color{green}q}^t\)
Änderungsrate
(Wachstumsrate)
\(\Delta B(t) = {\color{green}m}\)
\(\Rightarrow\) konstant
\(\Delta B(t) = B(t) \cdot ({\color{green}q} - 1)\)
\(\Rightarrow\) proportional zum aktuellen Bestand
  ...mit \({\color{green}m > 0}\) ...mit \({\color{green}q > 1}\)
Beispiele - Geld sparen (ohne Zinsen)
- Auffüllen von Gefäßen

- Zinseszinsrechnung
- Wachstum von Populationen

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Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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