Wachstum
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Wachstum in der Mathematik bedeutet.
Viele Wachstumsvorgänge lassen sich mathematisch erfassen und beschreiben. Je nach Art des Wachstums kann man verschiedene Typen unterscheiden. Die beiden wichtigsten sind:
a) Lineares Wachstum
Für lineares Wachstum ist eine konstante Zunahme
in gleichen Zeitspannen charakteristisch.
Beispiel
Wir werfen jeden Monat 1 € in ein Sparschwein.
\(\Rightarrow\) Unser Vermögen wächst konstant um 1 € pro Monat.
Lineares Wachstum: Graph
Im Rahmen des linearen Wachstums haben wir es mit steigenden Geraden zu tun.
b) Exponentielles Wachstum
Für exponentielles Wachstum ist eine konstante prozentuale Zunahme
in gleichen Zeitspannen charakteristisch.
Beispiel
Wir legen 1000 € zu einem Zinssatz von 5 % an.
\(\Rightarrow\) Unser Vermögen wächst konstant um 5 % pro Jahr.
Exponentielles Wachstum: Graph
Im Rahmen des exponentiellen Wachstums haben wir es mit steigenden Kurven zu tun.
Lineares und exponentielles Wachstum
Zwischen linearem und exponentiellem Wachstum gibt es einige interessante Unterschiede:
| Lineares Wachstum | Exponentielles Wachstum | |
| Charakteristikum | Konstante Zunahme | Konstante prozentuale Zunahme |
| Beschreibung durch | Lineare Funktionen | Exponentialfunktionen |
| Graph | Steigende Gerade | Steigende Exponentialkurve |
| Rekursive Darstellung | \(B(t+1) = B(t) + {\color{green}m}\) | \(B(t+1) = B(t) \cdot {\color{green}q}\) |
| Explizite Darstellung | \(B(t) = {\color{green}m} \cdot t + b\) | \(B(t) = B(0) \cdot {\color{green}q}^t\) |
| Änderungsrate (Wachstumsrate) |
\(\Delta B(t) = {\color{green}m}\) \(\Rightarrow\) konstant |
\(\Delta B(t) = B(t) \cdot ({\color{green}q} - 1)\) \(\Rightarrow\) proportional zum aktuellen Bestand |
| ...mit \({\color{green}m > 0}\) | ...mit \({\color{green}q > 1}\) | |
| Beispiele | - Geld sparen (ohne Zinsen) - Auffüllen von Gefäßen |
- Zinseszinsrechnung - Wachstum von Populationen |
| Verwandte Themen | Lineare Abnahme | Exponentielle Abnahme |
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