Wachstum

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Wachstum in der Mathematik bedeutet.

Viele Wachstumsvorgänge lassen sich mathematisch erfassen und beschreiben. Je nach Art des Wachstums kann man verschiedene Typen unterscheiden. Die beiden wichtigsten sind:

a) Lineares Wachstum

Für lineares Wachstum ist eine konstante Zunahme
in gleichen Zeitspannen charakteristisch.

Beispiel

Wir werfen jeden Monat 1 € in ein Sparschwein.
\(\Rightarrow\) Unser Vermögen wächst konstant um 1 € pro Monat.

Lineares Wachstum: Graph

Im Rahmen des linearen Wachstums haben wir es mit steigenden Geraden zu tun.

b) Exponentielles Wachstum

Für exponentielles Wachstum ist eine konstante prozentuale Zunahme
in gleichen Zeitspannen charakteristisch.

Beispiel

Wir legen 1000 € zu einem Zinssatz von 5 % an.
\(\Rightarrow\) Unser Vermögen wächst konstant um 5 % pro Jahr.

Exponentielles Wachstum: Graph

Im Rahmen des exponentiellen Wachstums haben wir es mit steigenden Kurven zu tun.

Lineares und exponentielles Wachstum

Zwischen linearem und exponentiellem Wachstum gibt es einige interessante Unterschiede:

  Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum
Charakteristikum Konstante Zunahme Konstante prozentuale Zunahme
Beschreibung durch Lineare Funktionen Exponentialfunktionen
Graph Steigende Gerade Steigende Exponentialkurve
Rekursive Darstellung \(B(t+1) = B(t) + {\color{green}m}\) \(B(t+1) = B(t) \cdot {\color{green}q}\)
Explizite Darstellung \(B(t) = {\color{green}m} \cdot t + b\) \(B(t) = B(0) \cdot {\color{green}q}^t\)
Änderungsrate
(Wachstumsrate)
\(\Delta B(t) = {\color{green}m}\)
\(\Rightarrow\) konstant
\(\Delta B(t) = B(t) \cdot ({\color{green}q} - 1)\)
\(\Rightarrow\) proportional zum aktuellen Bestand
  ...mit \({\color{green}m > 0}\) ...mit \({\color{green}q > 1}\)
Beispiele - Geld sparen (ohne Zinsen)
- Auffüllen von Gefäßen

- Zinseszinsrechnung
- Wachstum von Populationen

Verwandte Themen Lineare Abnahme Exponentielle Abnahme

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Andreas Schneider

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