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Lineares Wachstum

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineares Wachstum ist.

Für lineares Wachstum ist eine konstante Zunahme
in gleichen Zeitspannen charakteristisch.

Lineares Wachstum wird durch lineare Funktionen beschrieben.

Beispiel

In unserem Sparschwein befinden sich derzeit 3 €.
Ab sofort werfen wir jeden Monat 1 € rein, d. h.
unser Vermögen wächst konstant um 1 € pro Monat.

Zu Beginn (im Zeitpunkt 0) haben wir 3 €. Danach gilt:

1. Monat: 4 € (= 3 € + 1 €)
2. Monat: 5 € (= 4 € + 1 €)
3. Monat: 6 € (= 5 € + 1 €)
4. Monat: 7 € (= 6 € + 1 €)
5. Monat: 8 € (= 7 € + 1 €)
...

Mathematisch betrachtet handelt es sich dabei um eine Zuordnung:
Jedem Monat wird ein Vermögen eindeutig zugeordnet.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
\text{Monat } x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
\text{Vermögen } y & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\end{array}\)

Mit Hilfe der obigen Wertetabelle können wir einen Graphen zeichnen.



Die Abbildung zeigt den Graphen der

- Zuordnung mit der Zuordnungsvorschrift:
   \(x \longmapsto x + 3\)

- Funktion mit der Funktionsgleichung:
   \(f(x) = x + 3\)

Wir erinnern uns:

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Bei Aufgaben, die das lineare Wachstum betreffen, haben wir es mit steigenden Geraden zu tun.

Lineares Wachstum: Darstellungsform

Statt \(f(x)\) schreibt man im Zusammenhang mit Wachstum häufig \(B(t)\).
\(B(t)\) ist eine Funktion, die den Bestand \(B\) in Abhängigkeit der Zeit \(t\) ausdrückt.

Im Folgenden lernen wir zwei Möglichkeiten kennen, um den Bestand \(B\) zu berechnen.

a) Rekursive Darstellung

Rekursiv bedeutet „auf bekannte Werte zurückgehend“: Um zum Beispiel \(B(3)\) zu berechnen, müssen wir \(B(2)\) kennen. Um \(B(2)\) zu berechnen, müssen wir \(B(1)\) kennen - und um \(B(1)\) zu berechnen, müssen wir \(B(0)\) kennen.

Lineares Wachstum: Rekursive Darstellung

\(B(t+1) = B(t) + {\color{green}m} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{green}m > 0}\)

Beispiel

Wir befüllen unseren neuen Gartenteich mit Wasser.
Aus dem Gartenschlauch fließen 8 Liter pro Minute.
Wegen eines Regenschauers befinden sich bereits 50 Liter im Teich.

Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 3 Minuten im Teich?

Die dazugehörige rekursive Funktionsgleichung ist \(B(t+1) = B(t) {\color{green}\; + \; 8}\).

\(B(0) = 50\)
\(B(1) = B(0) + 8 = 50 + 8 = 58\)
\(B(2) = B(1) + 8 = 58 + 8 = 66\)
\(B(3) = B(2) + 8 = 66 + 8 = 74\)

Nach 3 Minuten befinden sich 74 Liter im Teich.

b) Explizite Darstellung

Mit Hilfe der expliziten Darstellung ist es möglich, jeden Funktionswert sofort auszurechnen.

Lineares Wachstum: Explizite Darstellung

\(B(t) = {\color{green}m} \cdot t + b \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{green}m > 0}\)

Beispiel

Wir befüllen unseren neuen Gartenteich mit Wasser.
Aus dem Gartenschlauch fließen 8 Liter pro Minute.
Wegen eines Regenschauers befinden sich bereits 50 Liter im Teich.

Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 3 Minuten im Teich?

Die dazugehörige explizite Funktionsgleichung ist \(B(t) = {\color{green}8} \cdot t + 50\).

\(B(3) = 8 \cdot 3 + 50 = 74\)

Nach 3 Minuten befinden sich 74 Liter im Teich.

Lineares Wachstum: Änderungsrate

Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Messgröße G beschreibt das Ausmaß der Veränderung von G in einem bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer des Zeitraums.

Der Zeitraum zwischen zwei Zeitpunkten \(t_1\) und \(t_2\) ist \(\Delta t = t_2 - t_1\).
\(\Delta\) (Delta) ist das mathematische Zeichen für eine Differenz.

a) Absolute Änderungsrate

Den absoluten Zuwachs eines Bestands bezeichnet man als absolute Änderungsrate \(\Delta B(t)\).

Die konkrete Änderung eines Bestands berechnet sich zu \(\Delta B(t) = B(t+1) - B(t)\).

Herleitung der absoluten Änderungsrate für lineares Wachstum

\(\begin{align*}
\Delta B(t)
&= B(t+1) - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t+1) = B(t) + m \text{ (= Rekursive Darstellung)}}\\
&= B(t) + m - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t) - B(t) = 0}\\
&= m
\end{align*}\)

Lineares Wachstum: Absolute Änderungsrate

\(\Delta B(t) = {\color{green}m} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{green}m > 0}\)

\(\Rightarrow\) Die absolute Änderungsrate (Wachstumsrate) \(\Delta B(t)\) ist konstant.

b) Relative Änderungsrate

Die relative Änderungsrate setzt die Änderung des Bestands mit dem Anfangsbestand in Beziehung.

Lineares Wachstum: Relative Änderungsrate

\(\frac{\Delta B(t)}{B(t)} = \frac{{\color{green}m}}{B(t)} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{green}m > 0}\)

Handelt es sich um lineares Wachstum?

In vielen Aufgaben ist eine Wertetabelle gegeben und man soll überprüfen, ob sie einen
linearen Zusammenhang abbildet. Zur Überprüfung eignet sich folgende Eigenschaft:

\(B(t+1) - B(t) = {\color{green}m} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \text{mit } {\color{green}m > 0}\)

Die Differenz zweier Folgeglieder der Folge ist stets gleich.

Beispiel

\(\begin{array}{r|r|r|r|r}
t & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
B(t) & 10 & 13 & 16 & 19 \\
\end{array}\)

\(B(1) - B(0) = 13 - 10 = 3\)
\(B(2) - B(1) = 16 - 13 = 3\)
\(B(3) - B(2) = 19 - 16 = 3\)

Damit haben wir gezeigt, dass \(B(t)\) linear wächst.

Lineares und exponentielles Wachstum

Zwischen linearem und exponentiellem Wachstum gibt es einige interessante Unterschiede:

  Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum
Charakteristikum Konstante Zunahme Konstante prozentuale Zunahme
Beschreibung durch Lineare Funktionen Exponentialfunktionen
Graph Steigende Gerade Steigende Exponentialkurve
Rekursive Darstellung \(B(t+1) = B(t) + {\color{green}m}\) \(B(t+1) = B(t) \cdot {\color{green}q}\)
Explizite Darstellung \(B(t) = {\color{green}m} \cdot t + b\) \(B(t) = B(0) \cdot {\color{green}q}^t\)
Änderungsrate
(Wachstumsrate)
\(\Delta B(t) = {\color{green}m}\)
\(\Rightarrow\) konstant
\(\Delta B(t) = B(t) \cdot ({\color{green}q} - 1)\)
\(\Rightarrow\) proportional zum aktuellen Bestand
  ...mit \({\color{green}m > 0}\) ...mit \({\color{green}q > 1}\)
Beispiele - Geld sparen (ohne Zinsen)
- Auffüllen von Gefäßen

- Zinseszinsrechnung
- Wachstum von Populationen

Verwandte Themen Lineare Abnahme Exponentielle Abnahme

Andreas Schneider

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