Verdopplungszeit
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Verdopplungszeit versteht.
Notwendiges Vorwissen: Exponentielles Wachstum
Die Verdopplungszeit \(t_V\) ist die Zeitspanne,
nach der sich der Anfangsbestand \(B(0)\) verdoppelt hat.
Beispiel
Die Bevölkerung Irlands (4,6 Millionen Einwohner) wächst um 4 % pro Jahr.
Wie lange dauert es, bis sich die Einwohnerzahl Irlands verdoppelt?
Ansatz: \(B(t) = B(0) \cdot q^t\)
Anfangsbestand \(B(0) = 4.600.000\)
Wachstumsfaktor \(q = 1 + \frac{p}{100} = 1 + \frac{4}{100} = 1 + 0,04 = 1,04\)
\(\Rightarrow B(t) = 4.600.000 \cdot 1,04^t\)
Die Bevölkerung verdoppelt sich, wenn gilt: \(1,04^t = 2\).
Dabei handelt es sich um eine Exponentialgleichung.
\(\begin{align*}
1,04^t &= 2 &&{\color{gray}| \text{ Logarithmieren}}\\[5pt]
\ln(1,04^t) &= \ln(2) &&{\color{gray}| \text{ Logarithmusgesetz anwenden}}\\[5pt]
t \cdot \ln(1,04) &= \ln(2) &&{\color{gray}| :\ln(1,04)}\\[5pt]
t &= \frac{\ln(2)}{\ln(1,04)}\\[5pt]
t &\approx 17,67
\end{align*}\)
Nach ungefähr 17,67 Jahren hat sich die Bevölkerung Irlands verdoppelt.
Formel für die Verdopplungszeit \(t_V\)
\[t_V = \frac{\ln(2)}{\ln(q)}\]
\(q\) ist der Wachstumsfaktor: \(q = 1 + \frac{p}{100}\).
Um die Verdopplungszeit zu berechnen, müssen wir nur den Prozentsatz \(p\) (= Wachstumsrate) kennen, der angibt, um wie viel Prozent der Bestand pro Zeiteinheit (z. B. Jahre) wächst.
Verwandt mit der Verdopplungszeit \(t_V\) ist die Halbwertszeit \(t_H\).
Hat dir meine Erklärung geholfen?
Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider