Verdopplungszeit

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Verdopplungszeit versteht.

Notwendiges Vorwissen: Exponentielles Wachstum

Die Verdopplungszeit \(t_V\) ist die Zeitspanne,
nach der sich der Anfangsbestand \(B(0)\) verdoppelt hat.

Beispiel

Die Bevölkerung Irlands (4,6 Millionen Einwohner) wächst um 4 % pro Jahr.
Wie lange dauert es, bis sich die Einwohnerzahl Irlands verdoppelt?

Ansatz: \(B(t) = B(0) \cdot q^t\)

Anfangsbestand \(B(0) = 4.600.000\)

Wachstumsfaktor \(q = 1 + \frac{p}{100} = 1 + \frac{4}{100} = 1 + 0,04 = 1,04\)

\(\Rightarrow B(t) = 4.600.000 \cdot 1,04^t\)

Die Bevölkerung verdoppelt sich, wenn gilt: \(1,04^t = 2\).
Dabei handelt es sich um eine Exponentialgleichung.

\(\begin{align*}
1,04^t &= 2 &&{\color{gray}| \text{ Logarithmieren}}\\[5pt]
\ln(1,04^t) &= \ln(2) &&{\color{gray}| \text{ Logarithmusgesetz anwenden}}\\[5pt]
t \cdot \ln(1,04) &= \ln(2) &&{\color{gray}| :\ln(1,04)}\\[5pt]
t &= \frac{\ln(2)}{\ln(1,04)}\\[5pt]
t &\approx 17,67
\end{align*}\)

Nach ungefähr 17,67 Jahren hat sich die Bevölkerung Irlands verdoppelt.

Formel für die Verdopplungszeit \(t_V\)
\[t_V = \frac{\ln(2)}{\ln(q)}\]

\(q\) ist der Wachstumsfaktor: \(q = 1 + \frac{p}{100}\).

Um die Verdopplungszeit zu berechnen, müssen wir nur den Prozentsatz \(p\) (= Wachstumsrate) kennen, der angibt, um wie viel Prozent der Bestand pro Zeiteinheit (z. B. Jahre) wächst.

Verwandt mit der Verdopplungszeit \(t_V\) ist die Halbwertszeit \(t_H\).

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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