Verdopplungszeit

Beispiel

Die Bevölkerung Irlands (4,6 Millionen Einwohner) wächst um 4 % pro Jahr.
Wie lange dauert es, bis sich die Einwohnerzahl Irlands verdoppelt?

Ansatz: \(B(t) = B(0) \cdot q^t\)

Anfangsbestand \(B(0) = 4.600.000\)

Wachstumsfaktor \(q = 1 + \frac{p}{100} = 1 + \frac{4}{100} = 1 + 0,04 = 1,04\)

\(\Rightarrow B(t) = 4.600.000 \cdot 1,04^t\)

Die Bevölkerung verdoppelt sich, wenn gilt: \(1,04^t = 2\).
Dabei handelt es sich um eine Exponentialgleichung.

\(\begin{align*}
1,04^t &= 2 &&{\color{gray}| \text{ Logarithmieren}}\\[5pt]
\ln(1,04^t) &= \ln(2) &&{\color{gray}| \text{ Logarithmusgesetz anwenden}}\\[5pt]
t \cdot \ln(1,04) &= \ln(2) &&{\color{gray}| :\ln(1,04)}\\[5pt]
t &= \frac{\ln(2)}{\ln(1,04)}\\[5pt]
t &\approx 17,67
\end{align*}\)

Nach ungefähr 17,67 Jahren hat sich die Bevölkerung Irlands verdoppelt.