Halbwertszeit
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Halbwertszeit versteht.
Notwendiges Vorwissen: Exponentielle Abnahme
Die Halbwertszeit \(t_H\) ist die Zeitspanne,
nach der sich der Anfangsbestand \(B(0)\) halbiert hat.
Beispiel
Im Labor untersuchen wir das Verhalten von 1000 Gramm Caesium.
Jedes Jahr nimmt die Menge um 2,284 % ab. Berechne die Halbwertszeit.
Ansatz: \(B(t) = B(0) \cdot q^t\)
Anfangsbestand \(B(0) = 1000\)
Abnahmefaktor \(q = 1 - \frac{p}{100} = 1 - \frac{2,284}{100} = 1 - 0,02284 = 0,97716\)
\(\Rightarrow B(t) = 1000 \cdot 0,97716^t\)
Die Menge halbiert sich, wenn gilt: \(0,97716^t = 0,5\).
Dabei handelt es sich um eine Exponentialgleichung.
\(\begin{align*}
0,97716^t &= 0,5 &&{\color{gray}| \text{ Logarithmieren}}\\[5pt]
\ln(0,97716^t) &= \ln(0,5) &&{\color{gray}| \text{ Logarithmusgesetz anwenden}}\\[5pt]
t \cdot \ln(0,97716) &= \ln(0,5) &&{\color{gray}| :\ln(0,97716)}\\[5pt]
t &= \frac{\ln(0,5)}{\ln(0,97716)}\\[5pt]
t &\approx 30
\end{align*}\)
Nach ungefähr 30 Jahren hat sich die Menge halbiert.
Formel für die Halbwertszeit \(t_H\)
\[t_H = \frac{\ln(0,5)}{\ln(q)}\]
\(q\) ist der Abnahmefaktor: \(q = 1 - \frac{p}{100}\).
Um die Halbwertszeit zu berechnen, müssen wir nur den Prozentsatz \(p\) (= Abnahmerate) kennen, der angibt, um wie viel Prozent der Bestand pro Zeiteinheit (z. B. Jahre) abnimmt.
Verwandt mit der Halbwertszeit \(t_H\) ist die Verdopplungszeit \(t_V\).
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider