Halbwertszeit

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Halbwertszeit versteht.

Notwendiges Vorwissen: Exponentielle Abnahme

Beispiel

Im Labor untersuchen wir das Verhalten von 1000 Gramm Caesium.
Jedes Jahr nimmt die Menge um 2,284 % ab. Berechne die Halbwertszeit.

Ansatz: \(B(t) = B(0) \cdot q^t\)

Anfangsbestand \(B(0) = 1000\)

Abnahmefaktor \(q = 1 - \frac{p}{100} = 1 - \frac{2,284}{100} = 1 - 0,02284 = 0,97716\)

\(\Rightarrow B(t) = 1000 \cdot 0,97716^t\)

Die Menge halbiert sich, wenn gilt: \(0,97716^t = 0,5\).
Dabei handelt es sich um eine Exponentialgleichung.

\(\begin{align*}
0,97716^t &= 0,5 &&{\color{gray}| \text{ Logarithmieren}}\\[5pt]
\ln(0,97716^t) &= \ln(0,5) &&{\color{gray}| \text{ Logarithmusgesetz anwenden}}\\[5pt]
t \cdot \ln(0,97716) &= \ln(0,5) &&{\color{gray}| :\ln(0,97716)}\\[5pt]
t &= \frac{\ln(0,5)}{\ln(0,97716)}\\[5pt]
t &\approx 30
\end{align*}\)

Nach ungefähr 30 Jahren hat sich die Menge halbiert.