Exponentielle Abnahme
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was exponentielle Abnahme ist.
Notwendiges Vorwissen: Prozentuale Abnahme
Für exponentielle Abnahme ist eine konstante prozentuale Abnahme
in gleichen Zeitspannen charakteristisch.
Exponentielle Abnahme wird durch Exponentialfunktionen beschrieben.
Beispiel
In einer Kleinstadt leben 14.000 Menschen.
Pro Jahr sinkt die Einwohnerzahl um 10 %, d. h.
die Einwohnerzahl nimmt konstant um 10 % ab.
Zu Beginn (im Zeitpunkt 0) hat die Stadt 14.000 Einwohner. Danach gilt:
1. Jahr: 12.600 (= 14.000 - 14.000 \(\cdot\) 10 %)
2. Jahr: 11.340 (= 12.600 - 12.600 \(\cdot\) 10 %)
3. Jahr: 10.206 (= 11.340 - 11.340 \(\cdot\) 10 %)
...
Mathematisch betrachtet handelt es sich dabei um eine Zuordnung:
Jedem Jahr wird eine Einwohnerzahl eindeutig zugeordnet.
\(\begin{array}{r|c|c|c|c}
\text{Jahr } x & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{Einwohner } y & 14.000 & 12.600 & 11.340 & 10.206 \\
\end{array}\)
Mit Hilfe der obigen Wertetabelle können wir einen Graphen zeichnen.
Die Abbildung zeigt eine Skizze des Graphen der
- Zuordnung mit der Zuordnungsvorschrift:
\(x \longmapsto 14000 \cdot 0,9^x\)
- Funktion mit der Funktionsgleichung:
\(f(x) = 14000 \cdot 0,9^x\)
Wir erinnern uns:
Der Graph einer Exponentialfunktion ist eine Exponentialkurve.
Im Rahmen der exponentiellen Abnahme haben wir es mit fallenden Kurven zu tun.
Exponentielle Abnahme: Darstellungsform
Statt \(f(x)\) schreibt man im Zusammenhang mit Abnahme häufig \(B(t)\).
\(B(t)\) ist eine Funktion, die den Bestand \(B\) in Abhängigkeit der Zeit \(t\) ausdrückt.
Im Folgenden lernen wir zwei Möglichkeiten kennen, um den Bestand \(B\) zu berechnen.
Wiederholung: Abnahmefaktor
Für den Abnahmefaktor \(q\) gilt: \(q = 1 - \frac{p}{100}\).
Beispiel
Eine Abnahme um 16 % entspricht einer Abnahme auf 84 %.
\(p\, \% = 16\, \% \quad \Rightarrow \quad q = 100\, \% - 16\, \% = 1 - \frac{16}{100} = 0,84\)
a) Rekursive Darstellung
Rekursiv bedeutet „auf bekannte Werte zurückgehend“: Um zum Beispiel \(B(3)\) zu berechnen, müssen wir \(B(2)\) kennen. Um \(B(2)\) zu berechnen, müssen wir \(B(1)\) kennen - und um \(B(1)\) zu berechnen, müssen wir \(B(0)\) kennen.
Exponentielle Abnahme: Rekursive Darstellung
\(B(t+1) = B(t) \cdot {\color{red}q} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{red} 0 < q < 1}\)
Beispiel
Im Labor untersuchen wir das Verhalten des radioaktiven chemischen Elements Uran-231.
Wir haben 1000 Gramm davon zur Verfügung. Pro Tag zerfallen etwa 16 % der Kerne.
Wie viel Gramm Uran-231 ist nach 3 Tagen noch vorhanden?
Die dazugehörige rekursive Funktionsgleichung ist \(B(t+1) = B(t) \cdot {\color{red}0,84}\).
\(B(0) = 1000\)
\(B(1) = B(0) \cdot 0,84 = 1000\phantom{,6} \cdot 0,84 = 840\)
\(B(2) = B(1) \cdot 0,84 = \phantom{1}840\phantom{,6} \cdot 0,84 = 705,6\)
\(B(3) = B(2) \cdot 0,84 = \phantom{1}705,6 \cdot 0,84 = 592,704\)
In 3 Tagen sind noch 592,704 g vorhanden.
b) Explizite Darstellung
Mit Hilfe der expliziten Darstellung ist es möglich, jeden Funktionswert sofort auszurechnen.
Exponentielle Abnahme: Explizite Darstellung
\(B(t) = B(0) \cdot {\color{red}q}^t \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \text{mit } {\color{red} 0 < q < 1}\)
Beispiel
Im Labor untersuchen wir das Verhalten des radioaktiven chemischen Elements Uran-231.
Wir haben 1000 Gramm davon zur Verfügung. Pro Tag zerfallen etwa 16 % der Kerne.
Wie viel Gramm Uran-231 ist nach 3 Tagen noch vorhanden?
Die dazugehörige explizite Funktionsgleichung ist \(B(t) = 1000 \cdot {\color{red}0,84}^t\).
\(B(3) = 1000 \cdot 0,84^3 = 592,704\)
In 3 Tagen sind noch 592,704 g vorhanden.
Exponentielle Abnahme: Änderungsrate
Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Messgröße G beschreibt das Ausmaß der Veränderung von G in einem bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer des Zeitraums.
Der Zeitraum zwischen zwei Zeitpunkten \(t_1\) und \(t_2\) ist \(\Delta t = t_2 - t_1\).
\(\Delta\) (Delta) ist das mathematische Zeichen für eine Differenz.
a) Absolute Änderungsrate
Die absolute Abnahme eines Bestands bezeichnet man als absolute Änderungsrate \(\Delta B(t)\).
Die konkrete Änderung eines Bestands berechnet sich zu \(\Delta B(t) = B(t+1) - B(t)\).
Herleitung der absoluten Änderungsrate für exponentielle Abnahme
\(\begin{align*}
\Delta B(t)
&= B(t+1) - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t+1) = B(t) \cdot q \text{ (= Rekursive Darstellung)}}\\
&= B(t) \cdot q - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t) \text{ ausklammern}}\\
&= B(t) \cdot (q-1)
\end{align*}\)
Exponentielle Abnahme: Änderungsrate
\(\Delta B(t) = B(t) \cdot ({\color{red}q}-1) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{red} 0 < q < 1}\)
b) Relative Änderungsrate
Die relative Änderungsrate setzt die Änderung des Bestands mit dem Anfangsbestand in Beziehung.
Exponentielle Abnahme: Relative Änderungsrate
\(\frac{\Delta B(t)}{B(t)} = {\color{red}q}-1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{red} 0 < q < 1}\)
\(\Rightarrow\) Die relative Änderungsrate \(\frac{\Delta B(t)}{B(t)}\) ist konstant.
\(\Rightarrow\) Die absolute Änderungsrate \(\Delta B(t)\) ist proportional zum aktuellen Bestand \(B(t)\).
Handelt es sich um exponentielle Abnahme?
In vielen Aufgaben ist eine Wertetabelle gegeben und man soll überprüfen, ob sie einen exponentiellen Zusammenhang abbildet. Zur Überprüfung eignet sich folgende Eigenschaft:
\[\frac{B(t+1)}{B(t)} = {\color{red}q} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{red} 0 < q < 1}\]
Der Quotient zweier Folgeglieder der Folge ist stets gleich.
Beispiel
\(\begin{array}{r|r|r|r|r}
t & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
B(t) & 8 & 4 & 2 & 1 \\
\end{array}\)
\(\frac{B(1)}{B(0)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{B(2)}{B(1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{B(3)}{B(2)} = \frac{1}{2}\)
Damit haben wir gezeigt, dass \(B(t)\) exponentiell abnimmt.
Wenn es sich um exponentielle Abnahme handelt, wird häufig nach der Halbwertszeit gefragt: Das ist die Zeitspanne, nach der sich ein Anfangsbestand \(B(0)\) halbiert hat.
Lineare und exponentielle Abnahme
Zwischen linearer und exponentieller Abnahme gibt es einige interessante Unterschiede:
| Lineare Abnahme | Exponentielle Abnahme | |
| Charakteristikum | Konstante Abnahme | Konstante prozentuale Abnahme |
| Beschreibung durch | Lineare Funktionen | Exponentialfunktionen |
| Graph | Fallende Gerade | Fallende Exponentialkurve |
| Rekursive Darstellung | \(B(t+1) = B(t) + {\color{red}m}\) | \(B(t+1) = B(t) \cdot {\color{red}q}\) |
| Explizite Darstellung | \(B(t) = {\color{red}m} \cdot t + b\) | \(B(t) = B(0) \cdot {\color{red}q}^t\) |
| Änderungsrate (Abnahmerate) |
\(\Delta B(t) = {\color{red}m}\) \(\Rightarrow\) konstant |
\(\Delta B(t) = B(t) \cdot ({\color{red}q} - 1)\) \(\Rightarrow\) proportional zum aktuellen Bestand |
| ...mit \({\color{red}m < 0}\) | ...mit \({\color{red}0 < q < 1}\) | |
| Beispiel | - Abbau von Alkohol im Blut |
- Radioaktiver Zerfall |
| Verwandte Themen | Lineares Wachstum | Exponentielles Wachstum |
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