Prozentuale Abnahme

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine prozentuale Abnahme ist.

Beispiel

Mama wog vor dem Urlaub 65 kg, hat dann aber 8 % abgenommen.
Wie viel wiegt Mama jetzt?

\(65\text{ kg} - 8\, \% \cdot 65\text{ kg} = 65\text{ kg} - 5,2\text{ kg} = 59,8\text{ kg}\)

Eine prozentuale Abnahme ist die negative Veränderung einer Größe innerhalb eines bestimmten Zeitraums, ausgedrückt in Prozent.

\[ \text{Anfangswert} - \text{prozentuale Abnahme} = \text{Endwert}\]

Beispiel (Fortsetzung)

\(65\text{ kg} - 8\, \% \cdot 65\text{ kg}\) vereinfachen wir durch Ausklammern zu \(65\text{ kg} \cdot (100\, \% - 8\, \%)\).
Dabei bezeichnet man \((100\, \% - 8\, \%)\) als Abnahmefaktor.

\[ \text{Anfangswert } G \cdot \text{Abnahmefaktor } q = \text{Endwert } G_{neu-}\]

Abnahmefaktor in Prozentschreibweise: \(\,q = \left(100\, \% - p\, \%\right)\)
Abnahmefaktor in Dezimalschreibweise: \(q = \left(1 - \frac{p}{100}\right)\)

Aufgaben, in denen es um die prozentuale Abnahme geht, lassen sich leicht an Schüsselwörtern wie „Abnahme“, „Verminderung (Reduktion)“, „Senkung“ oder „Verlust“ identifizieren. Sind zwei der drei Größen (Anfangswert, Prozentfaktor, Endwert) bekannt, kann man die dritte berechnen. Dazu stellt man die obige Gleichung nach der gesuchten Größe um.

a) Endwert berechnen

\[G_{neu-} = G \cdot q\]

Beispiel

Ein Smartphone der Marke „Birne“ kostet 500 €.
Aufgrund geringer Nachfrage senkt der Hersteller den Preis um 25 %.
Wie viel kostet das Smartphone nach der Preissenkung?

\[\begin{align*}
G_{neu-}
&= 500 \cdot \left(1 - \frac{25}{100}\right)\\[5pt]
&= 500 \cdot \left(1 - 0,25\right)\\[5pt]
&= 500 \cdot 0,75\\[5pt]
&= 375
\end{align*}\]

Nach der Preissenkung kostet das Smartphone 375 €.

b) Anfangswert berechnen

\[G = \frac{G_{neu-}}{q}\]

Beispiel

Ein Smartphone wird um 25% auf 375 € reduziert.
Wie viel hat das Smartphone vor der Preissenkung gekostet?

\[\begin{align*}
G
&= \frac{375}{\left(1 - \frac{25}{100}\right)}\\[5pt]
&= \frac{375}{\left(1 - 0,25\right)}\\[5pt]
&= \frac{375}{0,75}\\[5pt]
&= 500
\end{align*}\]

Vor der Preissenkung hat das Smartphone 500 € gekostet.

c) Prozentfaktor berechnen

\[q = \frac{G_{neu-}}{G}\]

Beispiel

Der Hersteller eines Smartphones senkt den Preis von 500 € auf 375 €.
Auf wie viel Prozent ist der Preis gesunken?

\[\begin{align*}
q
&= \frac{375}{500}\\[5pt]
&= 0,75
\end{align*}\]

Der Preis ist auf 75 % des ursprünglichen Preises gesunken.

Die Berechnung des Prozentsatzes aus dem Prozentfaktor, lernst du im Kapitel Prozentfaktor.

Prozentrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln erfährst du mehr zu diesem Thema:

Prozentrechnung  
> Prozentwert \[W = \frac{p}{100} \cdot G\]
> Prozentsatz \[p\, \% = \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\]
>> Prozent  
>> Promille  
> Grundwert \[G = W \cdot \frac{100}{p}\]
Prozentuale Veränderung \(\text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\)
> Prozentuale Zunahme \(G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = G_{neu+}\)
> Prozentuale Abnahme \(G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = G_{neu-}\)
> Prozentfaktor \(q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\)
> Prozentpunkte = Maß für die absolute Änderung von Prozentsätzen

Zu den Anwendungen der Prozentrechnung gehören Zinsrechnung und Zinseszinsrechnung.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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