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Achsensymmetrie zur y-Achse

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse vorliegt.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

In einer Kurvendiskussion wird häufig nach dem Symmetrieverhalten einer Funktion gefragt. Dabei können wir folgende Arten unterscheiden:

Art der SymmetrieBedingung
Achsensymmetrie zur $y$-Achse$f(-x) = f(x)$
Punktsymmetrie zum Ursprung$f(-x) = -f(x)$
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse$f(x_0+h) = f(x_0-h)$
Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt$f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0$

Satz 

Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse liegt vor, wenn gilt

$$ f(-x) = f(x) $$

Beispiel 1 

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ eingezeichnet. Die Symmetrieachse ($y$-Achse) ist farblich durch eine gestrichelte rote Linie hervorgehoben.

Als Beispiel ist der Punkt $P(2|4)$ eingezeichnet. Dieser wird durch die Symmetrieachse auf den Punkt $P'(-2|4)$ abgebildet. Dabei gilt:

$$ f(2) = 2^2 = 4 $$

$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 $$

bzw.

$$ f(-x) = f(x) $$

Abb. 1 

Anleitung 

$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen

Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{f(x)}$ ist

Beispiele 

Beispiel 2 

Überprüfe, ob die Funktion $f(x) = x^2$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.

$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen

$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^2 = x^2 $$

Da der Exponent gerade ist, fällt das negative Vorzeichen weg.

Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{f(x)}$ ist

$$ f(-x) = x^2 = f(x) $$

$\Rightarrow$ Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse

Beispiel 3 

Überprüfe, ob die Funktion $f(x) = x^3$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.

$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen

$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^3 = -x^3 $$

Da der Exponent ungerade ist, bleibt das negative Vorzeichen erhalten.

Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{f(x)}$ ist

$$ f(-x) = -x^3 \neq f(x) $$

$\Rightarrow$ Funktion ist nicht achsensymmetrisch zur $y$-Achse

Beispiel 4 

Überprüfe, ob die Funktion $f(x) = x^4 - 8x^2$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.

$\boldsymbol{-x}$ in die Funktion einsetzen

$$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^4 - 8({\color{red}-x})^2 = x^4 - 8x^2 $$

Da beide Exponenten gerade sind, fallen die negativen Vorzeichen weg.

Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich $\boldsymbol{f(x)}$ ist

$$ f(-x) = x^4 - 8x^2 = f(x) $$

$\Rightarrow$ Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse

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