Symmetrieverhalten
In diesem Kapitel besprechen wir das Symmetrieverhalten einer Funktion.
Beim Symmetrieverhalten geht es um die Frage, ob der Graph einer Funktion
- zu einer Achse (z. B. der y-Achse) oder
- zu einem Punkt (z. B. dem Ursprung)
symmetrisch ist.
Achsensymmetrie zur y-Achse
Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn gilt
\(f(-x) = f(x)\)
Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben
- \(-x\) in die Funktion einsetzen
- Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(f(x)\) ist
Beispiel
\(f(x) = x^2\)
1.) \(-x\) in die Funktion einsetzen
\(f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^2 = x^2\)
Da der Exponent gerade ist, fällt das negative Vorzeichen weg.
2.) Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(f(x)\) ist
\(f(-x) = x^2 = f(x)\)
\(\Rightarrow\) Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse
Punktsymmetrie zum Ursprung
Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt
\(f(-x) = -f(x)\)
Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben
- \(-x\) in die Funktion einsetzen
- Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(-f(x)\) ist
Beispiel
\(f(x) = x^3\)
1.) \(-x\) in die Funktion einsetzen
\(f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^3 = -x^3\)
Da der Exponent ungerade ist, bleibt das negative Vorzeichen erhalten.
2.) Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(-f(x)\) ist
\(f(-x) = -x^3 = -f(x)\)
\(\Rightarrow\) Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse
Symmetrie zu einer Achse liegt vor, wenn gilt
\(f(x_0+h) = f(x_0-h)\)
Dabei ist \(x_0\) die Gleichung der Achse.
Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben
- \(x_0+h\) in die Funktion einsetzen
- \(x_0-h\) in die Funktion einsetzen
- Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Beispiel
\(f(x) = x^2 - 4x + 4\)
Ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse \(x_0 = 2\) symmetrisch?
1.) \(x_0+h\) in die Funktion einsetzen
\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) &= ({\color{red}2+h})^2 - 4({\color{red}2+h}) + 4\\
&= 4 +4h + h^2 - 8 - 4h + 4\\
&= h^2
\end{align*}\)
2.) \(x_0-h\) in die Funktion einsetzen
\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0-h}) &= ({\color{red}2-h})^2 - 4({\color{red}2-h}) + 4\\
&= 4 - 4h + h^2 - 8 + 4h + 4\\
&= h^2
\end{align*}\)
3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Wegen
\(f(x_0+h)=f(x_0-h)\)
bzw.
\(h^2 = h^2\)
ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse mit der Gleichung \(x_0 = 2\) symmetrisch.
Punktsymmetrie zu einem Punkt
Symmetrie zu einem Punkt liegt vor, wenn gilt
\(f(x_0+h) - y_0= - f(x_0-h) + y_0\)
Dabei sind \(x_0\) und \(y_0\) die Koordinaten des Punktes.
Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben
- \(f(x_0+h) - y_0\) berechnen
- \(- f(x_0-h) + y_0\) berechnen
- Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Beispiel
\(f(x) = x^3 + 3x^2\)
Ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((-1|2)\) symmetrisch?
1.) \(f(x_0+h) - y_0\) berechnen
\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) - {\color{blue}y_0} &= \left[({\color{red}-1+h})^3 + 3({\color{red}-1+h})^2\right] - {\color{blue}2}\\
&=\left[\left(1 - 2h +h^2\right) \cdot \left(-1+h\right) + 3\left(1-2h+h^2\right)\right] - 2\\
&= \left[-1 + 2h - h^2 + h - 2h^2 + h^3 + 3 -6h + 3h^2\right] - 2\\
& = \left[h^3 - 3h + 2\right] - 2\\
&= h^3 - 3h\end{align*}\)
2.) \(- f(x_0-h) + y_0\) berechnen
\(\begin{align*}
- f({\color{red}x_0-h}) + {\color{blue}y_0} &= -\left[({\color{red}-1-h})^3 + 3({\color{red}-1-h})^2\right] + {\color{blue}2}\\
&=-\left[\left(1+2h+h^2\right) \cdot \left(-1-h\right) + 3(1+2h+h^2)\right] + 2\\
&= -\left[-1 -2h -h^2 -h -2h^2 -h^3 + 3 + 6h + 3h^2 \right] + 2\\
&= -\left[-h^3 + 3h + 2\right] + 2\\
&= h^3 - 3h
\end{align*}\)
3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen
Wegen
\(f(x_0+h) - y_0 = - f(x_0-h) + y_0\)
bzw.
\(h^3 - 3h = h^3 - 3h\)
ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((-1|2)\) symmetrisch.
Mehr zum Symmetrieverhalten
Wenn du mehr zum Symmetrieverhalten erfahren möchtest, lies dir folgende Kapitel durch:
| Bedingung | |
| Achsensymmetrie zur y-Achse | \(f(-x) = f(x)\) |
| Punktsymmetrie zum Ursprung | \(f(-x) = -f(x)\) |
| Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse | \(f(x_0+h) = f(x_0-h)\) |
| Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt | \(f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0\) |
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Andreas Schneider