Symmetrieverhalten

In diesem Kapitel besprechen wir das Symmetrieverhalten einer Funktion.

Beim Symmetrieverhalten geht es um die Frage, ob der Graph einer Funktion

  • zu einer Achse (z. B. der y-Achse) oder
  • zu einem Punkt (z. B. dem Ursprung)

symmetrisch ist.

Achsensymmetrie zur y-Achse

Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn gilt

\(f(-x) = f(x)\)

Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben

  1. \(-x\) in die Funktion einsetzen
  2. Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(f(x)\) ist

Beispiel

\(f(x) = x^2\)

1.) \(-x\) in die Funktion einsetzen

\(f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^2 = x^2\)

Da der Exponent gerade ist, fällt das negative Vorzeichen weg.

2.) Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(f(x)\) ist

\(f(-x) = x^2 = f(x)\)

\(\Rightarrow\) Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

Punktsymmetrie zum Ursprung

Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt

\(f(-x) = -f(x)\)

Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben

  1. \(-x\) in die Funktion einsetzen
  2. Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(-f(x)\) ist

Beispiel

\(f(x) = x^3\)

1.) \(-x\) in die Funktion einsetzen

\(f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^3 = -x^3\)

Da der Exponent ungerade ist, bleibt das negative Vorzeichen erhalten.

2.) Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(-f(x)\) ist

\(f(-x) = -x^3 = -f(x)\)

\(\Rightarrow\) Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung

Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse

Symmetrie zu einer Achse liegt vor, wenn gilt

\(f(x_0+h) = f(x_0-h)\)

Dabei ist \(x_0\) die Gleichung der Achse.

Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben

  1. \(x_0+h\) in die Funktion einsetzen
  2. \(x_0-h\) in die Funktion einsetzen
  3. Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Beispiel

\(f(x) = x^2 - 4x + 4\)

Ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse \(x_0 = 2\) symmetrisch?

1.) \(x_0+h\) in die Funktion einsetzen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) &= ({\color{red}2+h})^2 - 4({\color{red}2+h}) + 4\\
&= 4 +4h + h^2 - 8 - 4h + 4\\
&= h^2
\end{align*}\)

2.) \(x_0-h\) in die Funktion einsetzen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0-h}) &= ({\color{red}2-h})^2 - 4({\color{red}2-h}) + 4\\
&= 4 - 4h + h^2 - 8 + 4h + 4\\
&= h^2
\end{align*}\)

3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

\(f(x_0+h)=f(x_0-h)\)

bzw.

\(h^2 = h^2\)

ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse mit der Gleichung \(x_0 = 2\) symmetrisch.

Punktsymmetrie zu einem Punkt

Symmetrie zu einem Punkt liegt vor, wenn gilt

\(f(x_0+h) - y_0= - f(x_0-h) + y_0\)

Dabei sind \(x_0\) und \(y_0\) die Koordinaten des Punktes.

Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben

  1. \(f(x_0+h) - y_0\) berechnen
  2. \(- f(x_0-h) + y_0\) berechnen
  3. Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Beispiel

\(f(x) = x^3 + 3x^2\)

Ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((-1|2)\) symmetrisch?

1.) \(f(x_0+h) - y_0\) berechnen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) - {\color{blue}y_0} &= \left[({\color{red}-1+h})^3 + 3({\color{red}-1+h})^2\right] - {\color{blue}2}\\
&=\left[\left(1 - 2h +h^2\right) \cdot \left(-1+h\right) + 3\left(1-2h+h^2\right)\right] - 2\\
&= \left[-1 + 2h - h^2 + h - 2h^2 + h^3 + 3 -6h + 3h^2\right] - 2\\
& = \left[h^3 - 3h + 2\right] - 2\\
&= h^3 - 3h\end{align*}\)

2.) \(- f(x_0-h) + y_0\) berechnen

\(\begin{align*}
- f({\color{red}x_0-h}) + {\color{blue}y_0} &= -\left[({\color{red}-1-h})^3 + 3({\color{red}-1-h})^2\right] + {\color{blue}2}\\
&=-\left[\left(1+2h+h^2\right) \cdot \left(-1-h\right) + 3(1+2h+h^2)\right] + 2\\
&= -\left[-1 -2h -h^2 -h -2h^2 -h^3 + 3 + 6h + 3h^2 \right] + 2\\
&= -\left[-h^3 + 3h + 2\right] + 2\\
&= h^3 - 3h
\end{align*}\)

3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

\(f(x_0+h) - y_0 = - f(x_0-h) + y_0\)

bzw.

\(h^3 - 3h = h^3 - 3h\)

ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((-1|2)\) symmetrisch.

Mehr zum Symmetrieverhalten

Wenn du mehr zum Symmetrieverhalten erfahren möchtest, lies dir folgende Kapitel durch:

  Bedingung
Achsensymmetrie zur y-Achse \(f(-x) = f(x)\)
Punktsymmetrie zum Ursprung \(f(-x) = -f(x)\)
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse \(f(x_0+h) = f(x_0-h)\)
Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt \(f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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