y-Achsenabschnitt berechnen

In diesem Kapitel lernen wir, den $\boldsymbol{y}$ -Achsenabschnitt zu berechnen.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Was ist eine Funktion?
Was ist der y-Achsenabschnitt?

Einordnung

Im Rahmen einer Untersuchung einer Funktion (Kurvendiskussion) interessiert man sich häufig für den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $y$ -Achse. Dabei gilt:

Die $\boldsymbol{x}$ -Koordinate eines Schnittpunktes mit der $y$ -Achse ist Null.

Gegeben ist der Graph einer Funktion.

Die Koordinaten des Schnittpunktes mit der $y$ -Achse lassen sich leicht ablesen: $\text{S}({\color{red}0}|{-3})$ .

Abb. 1

Da die $x$ -Koordinate eines Schnittpunktes mit der $y$ -Achse stets Null ist, wird meist nur nach der $y$ -Koordinate gefragt. Diese $y$ -Koordinate hat einen speziellen Namen:

Die $y$ -Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der $y$ -Achse heißt $\boldsymbol{y}$ -Achsenabschnitt.

Eine Funktion hat höchstens einen $y$ -Achsenabschnitt.

y-Achsenabschnitt wichtiger Funktionen

Der $y$ -Achsenabschnitt entspricht dem $y$ -Wert an der Stelle $x = 0$ . Daraus folgt:

$f(0)$ berechnen

Potenzfunktion

Bei Potenzfunktionen, zu denen lineare Funktionen, quadratischen Funktionen und kubische Funktionen gehören, lässt sich der $y$ -Achsenabschnitt einfach in der Funktionsgleichung ablesen.

Beispiel 1

Gegeben ist der Graph der Funktion:

$$ f(x) = x{\color{red} \, - \, 3} $$

Schnittpunkt mit der $y$ -Achse:

$$ \text{S}(0|{\color{red}-3}) $$

$y$ -Achsenabschnitt:

$$ y = {\color{red}-3} $$

Abb. 2

Beispiel 2

Gegeben ist der Graph der Funktion:

$$ f(x) = x^2 {\color{red} \, - \, 4} $$

Schnittpunkt mit der $y$ -Achse:

$$ \text{S}(0|{\color{red}-4}) $$

$y$ -Achsenabschnitt:

$$ y = {\color{red}-4} $$

Abb. 3

Beispiel 3

Gegeben ist der Graph der Funktion:

$$ f(x) = x^3-0{,}1x^2-5x{\color{red} \, + \, 2} $$

Schnittpunkt mit der $y$ -Achse:

$$ \text{S}(0|{\color{red}2}) $$

$y$ -Achsenabschnitt:

$$ y = {\color{red}2} $$

Abb. 4

Gebrochenrationale Funktion

Beispiel 4

Gegeben sei die Funktion

$$ f(x) = \frac{x^2 + 4}{x+1} $$

Berechne den $y$ -Achsenabschnitt.

Wenn wir $x = 0$ in die Funktion einsetzen

$$ f({\color{red}0}) = \frac{{\color{red}0}^2 + 4}{{\color{red}0}+1} = \frac{4}{1} = 4 $$

erhalten wir als $y$ -Achsenabschnitt

$$ y = 4 $$

e-Funktion

Beispiel 5

Gegeben sei die Funktion

$$ f(x) = e^x $$

Berechne den $y$ -Achsenabschnitt.

Wenn wir $x = 0$ in die Funktion einsetzen

$$ f({\color{red}0}) = e^{{\color{red}0}} = 1 $$

erhalten wir als $y$ -Achsenabschnitt

$$ y = 1 $$

Anmerkung

Ein Potenzgesetz besagt $x^0 = 1$ .

ln-Funktion

Beispiel 6

Gegeben sei die Funktion

$$ f(x) = \ln(x) $$

Berechne den $y$ -Achsenabschnitt.

Wenn wir $x = 0$ in die Funktion einsetzen, stellen wir fest:

$$ f({\color{red}0}) = \ln({\color{red}0}) $$

Vorsicht! Die Definitionsmenge von Logarithmusfunktionen ist $D = ]0;\infty[$ .

Da die Funktion an der Stelle $x = 0$ nicht definiert ist, gibt es in diesem Fall keinen $y$ -Achsenabschnitt.

Beispiel 7

Gegeben sei die Funktion

$$ f(x) = \ln(x + 5) $$

Berechne den $y$ -Achsenabschnitt.

Wenn wir $x = 0$ in die Funktion einsetzen

$$ f({\color{red}0}) = \ln({\color{red}0} + 5) = \ln(5) =1{,}61 $$

erhalten wir als $y$ -Achsenabschnitt

$$ y = 1{,}61 $$