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y-Achsenabschnitt berechnen

In diesem Kapitel lernen wir, den y-Achsenabschnitt zu berechnen.

Im Rahmen einer Untersuchung einer Funktion (Kurvendiskussion) interessiert man sich häufig für den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-Achse. Dabei gilt:

Die x-Koordinate eines Schnittpunktes mit der y-Achse ist Null.

Gegeben ist der Graph einer Funktion.

Die Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse lassen sich leicht ablesen: \(\text{S}({\color{red}0}|-3)\).

Da die x-Koordinate eines Schnittpunktes mit der y-Achse stets Null ist, wird meist nur nach der y-Koordinate gefragt. Diese y-Koordinate hat einen speziellen Namen:

Die y-Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der y-Achse bezeichnet man als y-Achsenabschnitt.

Der Typ der Funktion entscheidet, wie leicht/schwer es ist, den y-Achsenabschnitt zu berechnen.

y-Achsenabschnitt bei Potenzfunktionen

Bei Potenzfunktionen, zu denen lineare Funktionen, quadratischen Funktionen und kubische Funktionen gehören, lässt sich der y-Achsenabschnitt einfach in der Funktionsgleichung ablesen.

Beispiel 1

Gegeben ist der Graph der Funktion:
\(f(x) = x{\color{red} \: - \: 3}\)

Schnittpunkt mit der y-Achse:
\(\text{S}(0|{\color{red}-3})\)

y-Achsenabschnitt:
\(y = {\color{red}-3}\)

Beispiel 2

Gegeben ist der Graph der Funktion:
\(f(x) = x^2 {\color{red} \: - \: 4}\)

Schnittpunkt mit der y-Achse:
\(\text{S}(0|{\color{red}-4})\)

y-Achsenabschnitt:
\(y = {\color{red}-4}\)

Beispiel 3

Gegeben ist der Graph der Funktion:
\(f(x) = x^3-0,1x^2-5x{\color{red} \: + \: 2}\)

Schnittpunkt mit der y-Achse:
\(\text{S}(0|{\color{red}2})\)

y-Achsenabschnitt:
\(y = {\color{red}2}\)

y-Achsenabschnitt bei beliebigen Funktionen

Kann man den y-Achsenabschnitt nicht aus der Funktionsgleichung herauslesen, bedient man sich folgender Eigenschaft, um den y-Achsenabschnitt zu berechnen:

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem \(y\)-Wert an der Stelle \(x = 0\).

Schauen wir uns dazu einige Beispiele an.

Gebrochenrationale Funktion

Gegeben ist die Funktion

\[f(x) = \frac{x^2 + 4}{x+1}\]

Wenn wir \(x = 0\) in die Funktion einsetzen

\[f({\color{red}0}) = \frac{{\color{red}0}^2 + 4}{{\color{red}0}+1} = \frac{4}{1} = 4\]

erhalten wir als y-Achsenabschnitt

\(y = 4\)

Natürliche Exponentialfunktion (e-Funktion)

Gegeben ist die Funktion

\(f(x) = e^x\)

Wenn wir \(x = 0\) in die Funktion einsetzen

\(f({\color{red}0}) = e^{{\color{red}0}} = 1\)

erhalten wir als y-Achsenabschnitt

\(y = 1\)

Hinweis: Laut den Potenzgesetzen gilt \(x^0 = 1\).

Natürlicher Logarithmus (ln-Funktion)

Beispiel 1

Gegeben ist die Funktion

\(f(x) = \ln(x)\)

Wenn wir \(x = 0\) in die Funktion einsetzen, stellen wir fest:

\(f({\color{red}0}) = \ln({\color{red}0})\)

Vorsicht! Die Definitionsmenge des natürlichen Logarithmus ist \(D = ]0;\infty[\).

Die Funktion ist also an der Stelle \(x = 0\) nicht definiert.

Beispiel 2

\(f(x) = \ln(x + 5)\)

Wenn wir \(x = 0\) in die Funktion einsetzen

\(f({\color{red}0}) = \ln({\color{red}0} + 5) = \ln(5) =1,61\)

erhalten wir als y-Achsenabschnitt

\(y = 1,61\)

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der y-Achsenabschnitt die y-Koordinate des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der y-Achse ist. Man berechnet den y-Achsenabschnitt, indem man \(x = 0\) in die Funktion einsetzt. Bei manchen Funktionen kann man den y-Achsenabschnitt direkt aus der Funktionsgleichung herauslesen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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