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Krümmungs­verhalten

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Krümmungsverhalten einer Funktion.

Einordnung 

Die 2. Ableitung hilft zu entscheiden, ob sich eine Kurve im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn dreht, wenn wir uns im Koordinatensystem von links nach rechts bewegen.

Gilt $f''(x) < 0$ so kann man sagen:

  • Der Funktionsgraph dreht sich um Uhrzeigersinn.
  • Der Funktionsgraph ist rechtgekrümmt (konkav).

Gilt $f''(x) > 0$ so kann man sagen:

  • Der Funktionsgraph dreht sich um Gegegnuhrzeigersinn.
  • Der Funktionsgraph ist linksgekrümmt (konvex).

Beispiel 1 

Die linke Kurve dreht sich im Uhrzeigersinn. Sie ist rechtsgekrümmt (konkav).

Die rechte Kurve dreht sich im Gegenuhrzeigersinn. Sie ist linksgekrümmt (konvex).

Abb. 1 

Merkhilfen 

  • Wenn die 2. Ableitung negativ ist, ist die Funktion rechtsgekrümmt.
    Wenn die 2. Ableitung positiv ist, ist die Funktion linksgekrümmt.

  • Wenn die 2. Ableitung negativ ist: trauriger Smiley.
    Wenn die 2. Ableitung positiv ist: fröhlicher Smiley.
    (Wie der Mund vom Smiley so ist auch die Krümmung der Funktion.)

  • Konkav ist der Buckel vom Schaf.

Rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt? 

Rechtskrümmung

Für $f''(x) < 0$ ist der Funktionsgraph rechtgekrümmt.

Beispiel 2 

$$ f(x) = -x^2 $$

$$ f'(x) = -2x $$

$$ f''(x) = -2 < 0 $$

Der Graph der Funktion $f(x) = -x^2$ ist rechtsgekrümmt (konkav).

Begründung

Die 2. Ableitung ist immer kleiner Null.

Abb. 2 

Linkskrümmung

Für $f''(x) > 0$ ist der Funktionsgraph linksgekrümmt.

Beispiel 3 

$$ f(x) = x^2 $$

$$ f'(x) = 2x $$

$$ f''(x) = 2 > 0 $$

Der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ ist linksgekrümmt (konvex).

Begründung

Die 2. Ableitung ist immer größer Null.

Abb. 3 

Sonderfall: Funktion, die links- und rechtsgekrümmt ist

Beispiel 4 

$$ f(x) = x^3 - x^2 $$

$$ f'(x) = 3x^2 - 2x $$

$$ f''(x) = 6x - 2 $$

Wenn in der 2. Ableitung der Funktion ein $x$ vorkommt, handelt es sich in der Regel um eine Funktion, die linksgekrümmte und rechtsgekrümmte Bereiche hat. Diese Bereiche oder Intervalle lassen sich berechnen, indem man überlegt, wo die 2. Ableitung kleiner (größer) Null ist.

Wann ist die 2. Ableitung kleiner Null?

$$ \text{Ansatz: } 6x - 2 < 0 $$

Die obige Ungleichung müssen wir jetzt nach $x$ auflösen.

$$ \begin{align*} 6x - 2 &< 0 &&|\, +2 \\[5px] 6x &< 2 &&|\, :6 \\[5px] x &< \frac{2}{6} \\[5px] x &< \frac{1}{3} \end{align*} $$

Daraus folgt:

$$ \text{Für} \quad x < \frac{1}{3} \quad \text{ist die Funktion rechtsgekrümmt.} $$

Wann ist die 2. Ableitung größer Null?

$$ \text{Ansatz: } 6x - 2 > 0 $$

Die obige Ungleichung müssen wir jetzt nach $x$ auflösen.

$$ \begin{align*} 6x - 2 &> 0 &&|\, +2 \\[5px] 6x &> 2 &&|\, :6 \\[5px] x &> \frac{2}{6} \\[5px] x &> \frac{1}{3} \end{align*} $$

Daraus folgt:

$$ \text{Für} \quad x > \frac{1}{3} \quad \text{ist die Funktion linksgekrümmt.} $$

Graphische Darstellung

Die Funktion $f(x) = x^3-x^2$ ist für $x < \frac{1}{3}$ rechtsgekrümmt (konkav) und für $x > \frac{1}{3}$ linksgekrümmt (konvex).

Um den Übergang von konkav zu konvex zu verdeutlichen, wurde bei $x = \frac{1}{3}$ eine gestrichelte Linie eingezeichnet.

Abb. 4 

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