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Sattelpunkt berechnen

In diesem Kapitel lernst du, wie man den Sattelpunkt einer Funktion berechnet.

Es empfiehlt sich folgende Themen zu wiederholen

Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Sattelpunkt um einen Wendepunkt mit waagrechter (Wende-)Tangente.

Der Sattelpunkt ist also ein Spezialfall eines Wendepunktes. Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert.

Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

\(\left.\begin{align*}
f''(x_0) &= 0\\
f'''(x_0)& \neq 0
\end{align*}\right\}\) Bedingung für einen Wendepunkt

\(f'(x_0) = 0\) (Bedingung für eine waagrechte Tangente)

Was auf den ersten Blick vielleicht etwas kryptisch aussieht, ist eigentlich ganz einfach:

  1. Zweite Ableitung berechnen
  2. Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen
  3. Dritte Ableitung berechnen
  4. Die in Schritt 2 berechneten x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen
    -> ist die dritte Ableitung dann ungleich Null, handelt es sich um einen Wendepunkt
  5. Die in Schritt 2 berechneten x-Werte in die erste Ableitung einsetzen
    -> ist die erste Ableitung dann gleich Null, so handelt es sich um einen Sattelpunkt
  6. Die x-Werte in die Funktion \(f(x)\) einsetzen, um die y-Koordinaten der Sattelpunkte zu berechnen

Der 5. Schritt ist farblich hervorgehoben, da dieser Schritt der einzige Unterschied zwischen der Berechnung eines Wendepunktes und der Berechnung eines Sattelpunktes ist.

Sattelpunkt berechnen - Beispiel 1

Die Funktion \(f(x) = x^3\) ist auf Sattelpunkte zu untersuchen.

1.) 2. Ableitung berechnen

\(f'(x) = 3x^2\)

\(f''(x) = 6x\)

2.) Für welche x-Werte wird die 2. Ableitung gleich Null?

Ansatz: \(f''(x) = 0\)

\(f''(x) = 6x = 0 \qquad \rightarrow \qquad x = 0\)

3.) 3. Ableitung berechnen

\(f'''(x) = 6\)

4.) Den in Schritt 2 berechneten x-Wert in die 3. Ableitung einsetzen

Da in der dritten Ableitung kein x vorkommt, sind wir bereits fertig!

Die dritte Ableitung ist immer ungleich Null: \(f'''(x) = 6 \neq 0\).

...aus diesem Grund liegt an der Stelle \(x = 0\) ein Wendepunkt vor.

5.) Den in Schritt 2 berechneten x-Wert in die 1. Ableitung einsetzen

\(f'(x) = 3x^2\)

\(f'(0) = 3\cdot 0^2 = 0\)

Da die erste Ableitung für \(x_0 = 0\) gleich Null ist, liegt an dieser Stelle ein Sattelpunkt vor.

6.) x-Wert in die Funktion \(f(x)\) einsetzen, um die y-Koordinate des Sattelpunktes zu berechnen

Unsere Aufgabe ist es, einen SattelPUNKT zu berechnen. Ein Punkt bestimmt immer aus zwei Koordinaten, weshalb man die Berechnung der y-Koordinante nicht vergessen darf!

\(y = f(0) = 0^3 = 0\)

Zusammenfassung

Die Funktion besitzt an der Stelle (0|0) einen Sattelpunkt.

Im Koordinatensystem ist die Funktion \(f(x) = x^3\) eingezeichnet.

Der Sattelpunkt und die waagrechte Tangente sind rot markiert.

Sattelpunkt berechnen - Beispiel 2

Die Funktion \(f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 - 2x + 2\) ist auf Sattelpunkte zu untersuchen.

1.) 2. Ableitung berechnen

\(f'(x) = -2x^2 + 4x - 2\)

\(f''(x) = -4x + 4\)

2.) Für welche x-Werte wird die 2. Ableitung gleich Null?

Ansatz: \(f''(x) = 0\)

\(f''(x) = -4x + 4 = 0 \qquad \rightarrow \qquad x = 1\)

3.) 3. Ableitung berechnen

\(f'''(x) = -4\)

4.) Den in Schritt 2 berechneten x-Wert in die 3. Ableitung einsetzen

Da in der dritten Ableitung kein x vorkommt, sind wir bereits fertig!

Die dritte Ableitung ist immer ungleich Null: \(f'''(x) = -4 \neq 0\).

...aus diesem Grund liegt an der Stelle \(x = 1\) ein Wendepunkt vor.

5.) Den in Schritt 2 berechneten x-Wert in die 1. Ableitung einsetzen

\(f'(x) = -2x^2 + 4x - 2\)

\(f'(1) = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 2= 0\)

Da die erste Ableitung für \(x_0 = 1\) gleich Null ist, liegt an dieser Stelle ein Sattelpunkt vor.

6.) x-Wert in die Funktion \(f(x)\) einsetzen, um die y-Koordinate des Sattelpunktes zu berechnen

Unsere Aufgabe ist es, einen SattelPUNKT zu berechnen. Ein Punkt bestimmt immer aus zwei Koordinaten, weshalb man die Berechnung der y-Koordinante nicht vergessen darf!

\(y = f(1) = -\frac{2}{3} \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = \frac{4}{3}\)

Zusammenfassung

Die Funktion besitzt an der Stelle (\(1|\frac{4}{3}\)) einen Sattelpunkt.

Im Koordinatensystem ist die Funktion \(f(x)= -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 - 2x + 2\) eingezeichnet.

Der Sattelpunkt und die waagrechte Tangente sind rot markiert.

Extremwerte - Formelsammlung

In der folgenden Übersicht findest du eine Formelsammlung zur Berechnung der Extremwerte.

  Bedingung
Hochpunkt berechnen \(f'(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f''(x_0) < 0\)
Tiefpunkt berechnen \(f'(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f''(x_0) > 0\)
Wendepunkt berechnen \(f''(x_0) = 0\)
\(f'''(x_0) \neq 0\)
Sattelpunkt berechnen \(\left.\begin{align*} f''(x_0) &= 0\\ f'''(x_0)& \neq 0 \end{align*}\right\}\) Bedingung für einen Wendepunkt
und
\(f'(x_0) = 0\) (Bedingung für eine waagrechte Tangente)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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