Wendetangente berechnen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man eine Wendetangente berechnet.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Wendepunkt um einen Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Er wechselt an dieser Stelle entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt:

$$ f''(x_0) = 0 \quad \text{und} \quad f'''(x_0) \neq 0 $$

Definition 

Eine Tangente durch einen Wendepunkt heißt Wendetangente.

Funktionsgleichung 

Gleichung einer Wendetangente

$$ t_w\colon\; y = m \cdot (x - x_0) + y_0 $$

Symbolverzeichnis

  • $t_w$: Bezeichnung für die Wendetangente
  • $x_0$ und $y_0$: Koordinaten des Wendepunktes
  • $m$: Tangentensteigung

Anleitung 

Wendepunkt berechnen

Steigung der Tangente berechnen

Tangentengleichung aufstellen

zu 2)

Dazu setzen wir die $x$-Koordinate des Wendepunktes in die 1. Ableitung ein.

Beispiele 

Beispiel 1 

Berechne die Wendetangente der Funktion $f(x) = x^3$.

Wendepunkt berechnen

Aus dem Kapitel Wendepunkt berechnen wissen wir, dass die Funktion $f(x) = x^3$ bei $(0|0)$ einen Wendepunkt hat.

Steigung der Tangente berechnen

$x$-Koordinate des Wendepunktes in die 1. Ableitung einsetzen

$$ f(x) = x^3 $$

$$ f'(x) = 3x^2 $$

$$ m = f'(x_0) = f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0 $$

Tangentengleichung aufstellen

Wir setzen $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ und $m = 0$ in die Gleichung der Wendetangente ein

$$ \begin{align*} t_w\colon\; y &= m \cdot (x - x_0) + y_0 \\[5px] &= 0 \cdot (x - 0) + 0 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$

Interpretation des Ergebnisses

$y = 0$ ist die Funktionsgleichung einer konstanten Funktion. Die Wendetangente $t_w$ ist in diesem Fall eine waagrechte Gerade in Höhe des Ursprungs.

Liegt an einem Wendepunkt eine waagrechte Wendetangente an, so bezeichnet man den Wendepunkt auch als Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt.

Graphische Darstellung

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x) = x^3$ eingezeichnet.

Der Wendepunkt und die Wendetangente sind rot hervorgehoben.

Abb. 1 

Beispiel 2 

Berechne die Wendetangente der Funktion $f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x$.

Wendepunkt berechnen

Aus dem Kapitel Wendepunkt berechnen wissen wir, dass die Funktion $f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x$ bei $\left(-1{,}5|{-1{,}5}\right)$ einen Wendepunkt hat.

Steigung der Tangente berechnen

$x$-Koordinate des Wendepunktes in die 1. Ableitung einsetzen

$$ f(x) = \frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x $$

$$ f'(x) = 2x^2 + 6x + 4 $$

$$ m = f'(x_0) = f'(-1{,}5) = 2\cdot(-1{,}5)^2 + 6\cdot (-1{,}5) + 4 = -0{,}5 $$

Tangentengleichung aufstellen

Wir setzen $x_0 = -1{,}5$, $y_0 = -1{,}5$ und $m = -0{,}5$ in die Gleichung der Wendetangente ein

$$ \begin{align*} t_w\colon\; y &= m \cdot (x - x_0) + y_0 \\[5px] &= -0{,}5 \cdot (x - (-1{,}5)) + (-1{,}5) \\[5px] &= -0{,}5 \cdot (x + 1{,}5) -1{,}5 \\[5px] &= -0{,}5x - 0{,}75 - 1{,}5 \\[5px] &= -0{,}5x - 2{,}25 \end{align*} $$

Interpretation des Ergebnisses

$y = -0{,}5x - 2{,}25$ ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion. Die Wendetangente $t_w$ ist in diesem Fall eine fallende Gerade.

Graphische Darstellung

Im Koordinatensystem ist die Funktion $f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x$ eingezeichnet.

Der Wendepunkt und die Wendetangente sind rot hervorgehoben.

Abb. 2 

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