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Wendetangente berechnen

Im letzten Kapitel haben wir uns angeguckt, wie man den Wendepunkt einer Funktion berechnet. Manchmal ist aber auch nach der Wendetangente gefragt. Was das ist und wie man sie berechnet, erfährst du in dieser Lektion.

Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Wendepunkt um einen Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Er wechselt an dieser Stelle entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt:

\(f''(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f'''(x_0) \neq 0\)

Die Wendetangente ist eine Tangente durch den Wendepunkt.

Die Gleichung der Wendetangente lautet allgemein

\(t_w: \quad y = m \cdot (x - x_0) + y_0\)

Dabei sind \(x_0\) und \(y_0\) die Koordinaten des Wendepunktes.
\(m\) ist die Steigung der Tangente.

Um die Gleichung der Wendetangente zu berechnen, brauchen wir also zunächst den Wendepunkt. Sind die Koordinaten des Wendepunktes bekannt, fehlt nur noch Steigung im Wendepunkt \(m\). Diese berechnen wir, indem wir die x-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung einsetzen.

Vorgehensweise zur Berechnung der Wendetangente

  1. Wendepunkt W (\(x_0|y_0\)) berechnen
  2. x-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung einsetzen, um die Steigung \(m\) im Wendepunkt zu berechnen: \(m = f'(x_0)\)
  3. \(x_0\), \(y_0\) und \(m\) in die Tangentengleichung einsetzen
    \(t_w: \quad y = m \cdot (x - x_0) + y_0\)

Wendetangente berechnen - Beispiel 1

1.) Wendepunkt berechnen

Aus dem Kapitel "Wendepunkt berechnen" wissen wir, dass die Funktion \(f(x) = x^3\) an der Stelle (0|0) einen Wendepunkt besitzt. Jetzt wollen wir die Wendetangente berechnen.

Da die Koordinaten des Wendepunktes \(x_0\) und \(y_0\) bereits bekannt sind, fehlt nur noch die Steigung \(m\) im Wendepunkt, um die Gleichung der Wendetangenten aufzustellen.

2.) Steigung der Tangente berechnen

Um die Steigung \(m\) zu berechnen, setzen wir die x-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung ein.

\(f(x) = x^3\)

\(f'(x) = 3x^2\)

\(m = f'(x_0) = f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0\)

Es gilt: \(m = 0\).

3.) Tangentengleichung aufstellen

Wir setzen \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\) und \(m = 0\) in die Gleichung der Wendetangente ein

\(t_w: \quad y = m \cdot (x - x_0) + y_0\)

und erhalten

\(t_w: \quad y = 0 \cdot (x - 0) + 0\)

\(t_w: \quad y = 0\)

Interpretation des Ergebnisses

Die Wendetangente \(t_w\) ist in diesem Fall eine waagrechte (horizonale) Gerade in Höhe des Ursprungs.

Liegt an einem Wendepunkt eine waagrechte Wendetangente an, so bezeichnet man den Wendepunkt auch als Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt.

Im Koordinatensystem ist die Funktion \(f(x) = x^3\) eingezeichnet. Außerdem ist der Wendepunkt sowie die Wendetangente rot markiert.

Wendetangente berechnen - Beispiel 2

1.) Wendepunkt berechnen

Aus dem Kapitel "Wendepunkt berechnen" wissen wir, dass die Funktion \(f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x\) an der Stelle \(\left(-1,5|-1,5\right)\) einen Wendepunkt besitzt. Jetzt wollen wir die Wendetangente berechnen.

Da die Koordinaten des Wendepunktes \(x_0\) und \(y_0\) bereits bekannt sind, fehlt nur noch die Steigung \(m\) im Wendepunkt, um die Gleichung der Wendetangenten aufzustellen.

2.) Steigung der Tangente berechnen

Um die Steigung \(m\) zu berechnen, setzen wir die x-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung ein.

\(f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x\)

\(f'(x) = 2x^2 + 6x + 4\)

\(m = f'(x_0) = f'(-1,5) = 2\cdot(-1,5)^2 + 6\cdot (-1,5) + 4 = -0,5\)

Es gilt: \(m = -0,5\).

3.) Tangentengleichung aufstellen

Wir setzen \(x_0 = -1,5\), \(y_0 = -1,5\) und \(m = -0,5\) in die Gleichung der Wendetangente ein

\(t_w: \quad y = m \cdot (x - x_0) + y_0\)

und erhalten

\(t_w: \quad y = -0,5 \cdot (x - (-1,5)) + (-1,5)\)

Ausmultiplizieren ergibt

\(t_w: \quad y = -0,5 \cdot (x + 1,5) -1,5\)

\(t_w: \quad y = -0,5x - 0,75 - 1,5\)

\(t_w: \quad y = -0,5x - 2,25\)

Interpretation des Ergebnisses

Die Wendetangente \(t_w\) ist in diesem Fall eine fallende Gerade (zu erkennen an dem negativen Vorzeichen des Koeffizienten vor dem x).

Im Koordinatensystem ist die Funktion \(f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x\) eingezeichnet. Außerdem ist der Wendepunkt sowie die Wendetangente der Funktion rot markiert.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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