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Tangentensteigung

In diesem Kapitel besprechen wir, wie man die Tangentensteigung berechnet.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt, heißt Tangente.

Beispiel 1 

Gegeben ist eine beliebige Kurve.

Abb. 1 

Wir wählen einen Punkt auf der Kurve aus.

Der Punkt $\text{P}_0$ besitzt die Koordinaten $(x_0|y_0)$.

Abb. 2 

Gesucht ist die Steigung der Gerade, die die Kurve im Punkt $\text{P}_0$ berührt.

Abb. 3 

Formel 

Leider sind für die Formel zur Berechnung der Tangentensteigung verschiedene Schreibweisen verbreitet. Davon darf man sich nicht verunsichern lassen. Im Folgenden werden einige dieser Schreibweisen erwähnt:

Tangentensteigung

$$ \begin{align*} m &= \lim_{x_1 \to x_0} \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \\[5px] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ \\ &= \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} \\[5px] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{(x_0 + \Delta x) - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\ \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{align*} $$

Zur Erinnerung: Das Symbol $\Delta$ (Delta) steht in der Mathematik meist für die Differenz zweier Werte. Hier gilt: $\Delta y = y_1 - y_0$ und $\Delta x = x_1 - x_0$.

Beispiele 

Es gibt im Wesentlichen drei Möglichkeiten, die Steigung einer Tangente zu berechnen:

Normalerweise verwendet man die Ableitung zur Berechnung der Tangentensteigung. Es gibt allerdings zwei Ausnahmen: Die Ableitung wurde im Unterricht noch nicht besprochen oder der Einsatz des Differentialquotienten bzw. der h-Methode ist in der Aufgabe ausdrücklich vorgeschrieben.

Differentialquotient 

Beispiel 2 

Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2$.

Berechne die Steigung der Tangente an der Stelle $x_0 = 2$ mithilfe des Differentialquotienten.

Formel aufschreiben

$$ m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$

Werte einsetzen

Für unser Beispiel gilt:

  • $f(x_1) = x_1^2$
  • $f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4$
  • $x_1$
  • $x_0 = 2$

Daraus folgt:

$$ m = \lim_{x_1 \to 2} \frac{x_1^2 - 4}{x_1 - 2} $$

Term vereinfachen

Notwendiges Vorwissen: 3. Binomische Formel

$$ \begin{align*} m &= \lim_{x_1 \to 2} \frac{x_1^2 - 4}{x_1 - 2} &&| \text{ 3. Binomische Formel anwenden} \\[5px] &= \lim_{x_1 \to 2} \frac{(x_1 + 2)(x_1 - 2)}{x_1 - 2} &&| \text{ Kürzen} \\[5px] &= \lim_{x_1 \to 2} \frac{(x_1 + 2)\cancel{(x_1 - 2)}}{\cancel{x_1 - 2}} \\[5px] &= \lim_{x_1 \to 2} x_1 + 2 \end{align*} $$

Grenzwert berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{m} &= 2 + 2 \\[5px] &= 4 \end{align*} $$

Die Steigung der Tangente ist $m = 4$.

h-Methode 

Beispiel 3 

Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2$.

Berechne die Steigung der Tangente an der Stelle $x_0 = 2$ mithilfe der h-Methode.

Formel aufschreiben

$$ m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$

Werte einsetzen

Für unser Beispiel gilt:

  • $f(x_0 + h) = (x_0 + h)^2 = (2 + h)^2$
  • $f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4$
  • $h$

Daraus folgt:

$$ m = \lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 - 4}{h} $$

Term vereinfachen

$$ \begin{align*} m &= \lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 - 4}{h} &&| \text{ Ausmultiplizieren} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} &&| \text{ Zusammenfassen} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} &&| \text{ Ausklammern} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{h \cdot (4 + h)}{h} &&| \text{ Kürzen} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h} \cdot (4 + h)}{\cancel{h}} \\[5px] &= \lim_{h \to 0} 4 + h \end{align*} $$

Grenzwert berechnen

$$ \begin{align*} \phantom{m} &= 4 + 0 \\[5px] &= 4 \end{align*} $$

Die Steigung der Tangente ist $m = 4$.

Ableitung 

Beispiel 4 

Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2$.

Berechne die Steigung der Tangente an der Stelle $x_0 = 2$ mithilfe der Ableitung.

Funktion ableiten

Die Ableitung der Funktion $f(x) = x^2$ ist $f'(x) = 2x$.

$\boldsymbol{x_0}$ in Ableitung einsetzen

Um die Tangentensteigung an der Stelle $x_0 = 2$ zu berechnen, müssen wir diese Stelle lediglich in die Ableitungsfunktion einsetzen:

$$ m = f'(x_0) = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4 $$

Die Steigung der Tangente ist $m = 4$.

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