h-Methode

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was es mit der h-Methode auf sich hat.

Folgende Themen werden als bekannt vorausgesetzt:

Problemstellung

Wir haben bereits den Differentialquotienten kennengelernt:

\[m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\]

Mit dessen Hilfe können wir die Steigung der Tangente im Punkt \(\text{P}_0(x_0|y_0)\).

Sind mehrere Punkte gegeben, in denen man die Steigung der Tangente berechnen möchte, wird die Arbeit mit dem Differentialquotienten schnell sehr zeitaufwändig. Abhilfe schaffen die sog. Ableitungsfunktionen:

Eine Ableitungsfunktion (kurz: Ableitung) ist eine Funktion,
die jeder Stelle \(x_0\) den Wert ihres Differentialquotienten zuordnet.

Differentialquotient vs. Ableitungsfunktion

Gegeben ist die Funktion \(f(x) = x^2\).
Gesucht ist die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0 = 2\).

a) Berechnung der Tangentensteigung mit Hilfe des Differentialquotienten

Der Differentialquotient lautet

\[m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\]

Für unser Beispiel gilt:

  • \(f(x_1) = x_1^2\)
  • \(f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4\)
  • \(x_1\)
  • \(x_0 = 2\)

Jetzt setzen wir die entsprechenden Werte in den Differentialquotienten ein

\[m = \lim_{x_1 \to 2} \frac{x_1^2 - 4}{x_1 - 2}\]

Im Zähler können wir die 3. Binomische Formel anwenden

\[m = \lim_{x_1 \to 2} \frac{(x_1 + 2)(x_1 - 2)}{x_1 - 2}\]

und anschließend kürzen

\[m = \lim_{x_1 \to 2} \frac{(x_1 + 2)\cancel{(x_1 - 2)}}{\cancel{x_1 - 2}}\]

\[m = \lim_{x_1 \to 2} x_1 + 2\]

Für den Grenzwert gilt folglich

\[m = \lim_{x_1 \to 2} x_1 + 2 = 4\]

b) Berechnung der Tangentensteigung mit Hilfe der Ableitungsfunktion

Die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) der Funktion \(f(x) = x^2\) lautet:

\(f'(x) = 2x\)

(sprich: f Strich von x ist 2x)

Um die Steigung der Tangente an der Stelle \(x_0 = 2\) zu berechnen, müssen wir diese Stelle lediglich in die Ableitungsfunktion einsetzen.

\(f'(x_0) = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4\)

Fazit

Wir haben gesehen, dass es deutlich einfacher ist, die Tangentensteigung mit Hilfe der Ableitungsfunktion zu berechnen. Bloß, wie kommt man überhaupt auf eine Ableitungsfunktion?

h-Methode:
Differentialquotient \(\rightarrow\) Ableitungsfunktion

Die nebenstehende Abbildung kennen wir bereits aus dem Kapitel zum Differenzenquotienten.

Der Differenzenquotient lautet bekanntlich: \[m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\]

Die Idee hinter der h-Methode ist, dass man nicht einen speziellen Punkt \(x_1\) in den Differenzenquotienten einsetzt, sondern einen Platzhalter \(h\), für den gilt:

\(h = x_1 - x_0\)

Die Variable \(h\) (daher der Name h-Methode) steht demnach für den Abstand zweier \(x\)-Werte.

Wir verändern also die Schreibweise des Differenzenquotienten dahingehend, dass gilt:
\(h = x_1 - x_0\)

Dazu lösen wir die Gleichung nach \(x_1\) auf \(x_1 = x_0 + h\)
Folglich gilt:\(f(x_1) = f(x_0 +h)\)

Differenzenquotient in Abhängigkeit von \(h\): \[m = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\]

Da in der obigen Formel kein \(x_1\) mehr vorkommt, kann man für \(x_0\) auch einfach \(x\) schreiben.

Differenzenquotient in neuer Schreibweise: \[m = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

Bis jetzt haben wir nur den Differenzenquotienten in Abhängigkeit der Variable \(h\) ausgedrückt. Gesucht ist aber die Ableitungsfunktion - das ist eine Funktion, die jeder Stelle \(x_0\) (oder einfach \(x\)) den Wert ihres Differentialquotienten zuordnet.

Aus dem letzten Kapitel (> Differentialquotient) wissen wir:

Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

Grenzwert bedeutet in diesem Fall, dass \(h\) gegen 0 geht.

Der Differentialquotient in Abhängigkeit von \(h\) lautet demzufolge: \[\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]
In der Animation ist schön zu erkennen, was graphisch passiert, wenn \(h\) gegen 0 geht:
Die Sekante wird zu einer Tangente. Auch das wissen wir schon aus dem letzten Kapitel.

Dadurch dass wir den Differentialquotienten

\[\lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\]

in Abhängigkeit der Variablen \(h\) (mit \(h = x_1 - x_0\)) umgeschrieben haben zu

\[\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

können wir nun mit Hilfe dieser Formel eine Funktion berechnen, die jeder Stelle \(x\) den Wert ihres Differentialquotienten zuordnet. Dabei handelt es sich um die Ableitungsfunktion \(f'(x)\).

Zusammenfassend kann man sagen:

Die h-Methode ist ein Verfahren zur Herleitung von Ableitungsfunktionen.

\[\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x)\]

\(f(x+h)\) bedeutet, dass man in die Funktion \(f(x)\) an Stelle von \(x\) einfach \(x + h\) einsetzen muss. Ist beispielsweise \(f(x) = x^2\) gegeben, dann gilt: \(f(x+h) = (x+h)^2\).

Beispiel 1

Gegeben ist \(f(x) = x^2\).

Gesucht ist die Ableitung \(f'(x)\).

\[\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h}(2x + h)}{\cancel{h}} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} (2x + \overbrace{h}^{\to 0}) = 2x\\
\end{align*}\]

Antwort: Die Ableitung der Funktion \(f(x) = x^2\) ist \(f'(x) = 2x\).

Beispiel 2

Gegeben ist \(f(x) = x^3\).

Gesucht ist die Ableitung \(f'(x)\).

\[\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^3 - x^3}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 \cdot (x + h) - x^3}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) \cdot (x + h) - x^3}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 2x^2h + xh^2 + x^2h + 2xh^2 + h^3 - x^3}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\cancel{h}(3x^2 + 3xh + h^2)}{\cancel{h}} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} (3x^2 + \overbrace{3xh}^{\to 0} + \overbrace{h^2}^{\to 0}) = 3x^2 \\ \\
\end{align*}\]

Antwort: Die Ableitung der Funktion \(f(x) = x^3\) ist \(f'(x) = 3x^2\).

Ableitungsfunktionen im Überblick

  Funktion Ableitungsfunktion
Ableitung Potenzfunktion \(f(x) = x^n\) \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
Ableitung Wurzel \(f(x) = \sqrt{x}\) \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Ableitung e-Funktion \(f(x) = e^x\) \(f'(x) = e^x\)
Ableitung Logarithmus \(f(x) = \ln(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{x}\)
Ableitung Sinus \(f(x) = \sin x\) \(f'(x) = \cos x\)
Ableitung Cosinus \(f(x) = \cos x\) \(f'(x) = -\sin x\)
Ableitung Tangens \(f(x) = \tan x\) \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}\)

Welche Bedeutung hat die h-Methode?

Die Antwort ist einfach: Normalerweise lernt man die h-Methode nur, um zu verstehen, woher die Ableitungsfunktionen kommen. Nach dem Rechnen einiger Beispiele hat das Verfahren in der Regel keine Bedeutung mehr auf dem weiteren Ausbildungsweg.
Viel wichtiger als die h-Methode sind die Ableitungsfunktionen an sich. Diesen begegnet man in der Mathematik häufig bis zum Studium/Beruf. Später kennt man die Ableitungen der wichtigsten elementaren Funktionen (siehe vorheriger Abschnitt) auswendig oder weiß, wo man diese nachschlagen kann. Die h-Methode spielt dann keine Rolle mehr. Die Ableitung zusammengesetzter Funktionen berechnet man übrigens mit Hilfe der Ableitungsregeln.

Mehr zum Thema Differentialrechnung

Im Zusammenhang mit der Differentialrechnung gibt es einige interessante Themen:

Steigung einer linearen Funktion
(Geradensteigung)

\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Differenzenquotient
(> Sekantensteigung)

\[m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Differentialquotient
(> Tangentensteigung)
\[m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
h-Methode
(> Ableitung)
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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