Ableitung Wurzel

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Ableitung einer Wurzel berechnet.

Wurzel Ableitung Wurzel
\(f(x) = \sqrt{x}\) \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Sich die Ableitung einer Wurzel zu merken, ist eigentlich einfach. Wenn allerdings nicht nur ein \(x\) als Argument in der Wurzelfunktion steht, wird es schon etwas schwieriger. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.

Die Kettenregel wird in den folgenden Beispielen als bekannt vorausgesetzt.

Beispiel 1

\[f(x) = \sqrt{2x}\]

  • Für die äußere Funktion gilt: \(g(x) = \sqrt{x} \quad \rightarrow \quad g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
  • Für die innere Funktion gilt: \(h(x) = 2x \quad \rightarrow \quad h'(x) = 2\).

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel für die Kettenregel ein

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

\[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}}\]

Beispiel 2

\[f(x) = \sqrt{x^2 + x}\]

  • Für die äußere Funktion gilt: \(g(x) = \sqrt{x} \quad \rightarrow \quad g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
  • Für die innere Funktion gilt: \(h(x) = x^2 + x \quad \rightarrow \quad h'(x) = 2x + 1\).

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel für die Kettenregel ein

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

\[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + x}} \cdot \left(2x + 1\right) \]

Die Beispiele haben gezeigt, welch große Rolle die Kettenregel bei der Ableitung einer Wurzel spielt. Gerade bei komplizierten Funktionen lohnt es sich, zunächst die äußere Funktion und die inneren Funktion zu identifizieren und diese getrennt voneinander abzuleiten. Danach setzt man die Zwischenergebnisse in die Formel ein, um die korrekte Ableitung der Wurzel zu erhalten.

Ableitung Wurzel - Video

In diesem Mathe Video (6:54 min) wird dir erklärt, wie man die Ableitung einer Wurzel berechnet.

Mehr zum Thema Ableitungen

Es gibt einige Funktionen, von denen man die Ableitungen auswendig wissen sollte:

  Funktion Ableitungsfunktion
Ableitung Potenzfunktion \(f(x) = x^n\) \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
Ableitung Wurzel \(f(x) = \sqrt{x}\) \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Ableitung e-Funktion \(f(x) = e^x\) \(f'(x) = e^x\)
Ableitung Logarithmus \(f(x) = \ln(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{x}\)
Ableitung Sinus \(f(x) = \sin(x)\) \(f'(x) = \cos(x)\)
Ableitung Cosinus \(f(x) = \cos(x)\) \(f'(x) = -\sin(x)\)
Ableitung Tangens \(f(x) = \tan(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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