Ableitung Wurzel

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Ableitung einer Wurzel berechnet.

Erforderliches Vorwissen

Formel 

WurzelAbleitung Wurzel
$f(x) = \sqrt{x}$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Sich die Ableitung einer Wurzel zu merken, ist eigentlich einfach. Wenn allerdings nicht nur ein $x$ als Argument in der Wurzelfunktion steht, wird es schon etwas schwieriger. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.

Beispiele 

Beispiel 1 

Berechne die Ableitung der Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{2x}$.

Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten

Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = \sqrt{2x}$ ist

FunktionAbleitung
$g(x) = \sqrt{x}$$$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$h(x) = 2x$$$h'(x) = 2$$

Verkettete Funktion ableiten

Formel aufschreiben

$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{f'(x)} = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{f'(x)} = \frac{1}{\sqrt{2x}} $$

Beispiel 2 

Berechne die Ableitung der Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x^2 + x}$.

Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten

Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = \sqrt{x^2 + x}$ ist

FunktionAbleitung
$g(x) = \sqrt{x}$$$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$h(x) = x^2 + x$$$h'(x) = 2x + 1$$

Verkettete Funktion ableiten

Formel aufschreiben

$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{f'(x)} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + x}} \cdot \left(2x + 1\right) $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{f'(x)} = \frac{2x + 1}{2\sqrt{x^2 + x}} $$

Lernvideo 

In folgendem Lernvideo (6:54 min) wird dir erklärt, wie man die Ableitung einer Wurzel berechnet.

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