Ableitung Tangens

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Ableitung vom Tangens ist.

Tangens Ableitung Tangens
\(f(x) = \tan(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\)

Dabei gilt: \(\cos^2(x) = (\cos(x))^2\)

Sich die Ableitung vom Tangens zu merken, ist eigentlich einfach. Wenn allerdings nicht nur ein \(x\) als Argument in der Tangensfunktion steht, wird es schon etwas schwieriger. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.

Die Kettenregel wird in den folgenden Beispielen als bekannt vorausgesetzt.

Beispiel 1

\[f(x) = \tan(2x)\]

  • Für die äußere Funktion gilt: \(g(x) = \tan(x) \quad \rightarrow \quad g'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}\).
  • Für die innere Funktion gilt: \(h(x) = 2x \quad \rightarrow \quad h'(x) = 2\).

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel für die Kettenregel ein

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

\[f'(x) = \frac{1}{\cos^2 (2x)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2 (2x)}\]

Beispiel 2

\[f(x) = \tan(x^2 + x)\]

  • Für die äußere Funktion gilt: \(g(x) = \tan(x) \quad \rightarrow \quad g'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}\).
  • Für die innere Funktion gilt: \(h(x) = x^2 + x \quad \rightarrow \quad h'(x) = 2x + 1\).

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel für die Kettenregel ein

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

\[f'(x) = \frac{1}{\cos^2 (x^2 + x)} \cdot (2x + 1)\]

Die Beispiele haben gezeigt, welch große Rolle die Kettenregel bei der Ableitung vom Tangens spielt. Gerade bei komplizierten Funktionen lohnt es sich, zunächst die äußere Funktion und die inneren Funktion zu identifizieren und diese getrennt voneinander abzuleiten. Danach setzt man die Zwischenergebnisse in die Formel ein, um die korrekte Ableitung vom Tangens zu erhalten.

Mehr zum Thema Ableitungen

Es gibt einige Funktionen, von denen man die Ableitungen auswendig wissen sollte:

  Funktion Ableitungsfunktion
Ableitung Potenzfunktion \(f(x) = x^n\) \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
Ableitung Wurzel \(f(x) = \sqrt{x}\) \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Ableitung e-Funktion \(f(x) = e^x\) \(f'(x) = e^x\)
Ableitung Logarithmus \(f(x) = \ln(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{x}\)
Ableitung Sinus \(f(x) = \sin(x)\) \(f'(x) = \cos(x)\)
Ableitung Cosinus \(f(x) = \cos(x)\) \(f'(x) = -\sin(x)\)
Ableitung Tangens \(f(x) = \tan(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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