Ableitung Logarithmus

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Ableitung vom Logarithmus berechnet.

Logarithmus Ableitung Logarithmus
\(f(x) = \ln(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{x}\)

Sich die Ableitung vom Logarithmus zu merken, ist eigentlich einfach. Wenn allerdings nicht nur ein \(x\) als Argument in der Logarithmusfunktion steht, wird es schon etwas schwieriger. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.

Die Kettenregel wird in den folgenden Beispielen als bekannt vorausgesetzt.

Beispiel 1

\[f(x) = \ln(2x)\]

  • Für die äußere Funktion gilt: \(g(x) = \ln(x) \quad \rightarrow \quad g'(x) = \frac{1}{x}\).
  • Für die innere Funktion gilt: \(h(x) = 2x \quad \rightarrow \quad h'(x) = 2\).

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel für die Kettenregel ein

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

\[f'(x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}\]

Beispiel 2

\[f(x) = \ln(x^2 + x)\]

  • Für die äußere Funktion gilt: \(g(x) = \ln(x) \quad \rightarrow \quad g'(x) = \frac{1}{x}\).
  • Für die innere Funktion gilt: \(h(x) = x^2 + x \quad \rightarrow \quad h'(x) = 2x + 1\).

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel für die Kettenregel ein

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

\[f'(x) = \frac{1}{x^2 + x} \cdot \left(2x + 1\right) = \frac{2x +1}{x^2 + x}\]

Die Beispiele haben gezeigt, welch große Rolle die Kettenregel bei der Ableitung des Logarithmus spielt. Gerade bei komplizierten Funktionen lohnt es sich, zunächst die äußere Funktion und die inneren Funktion zu identifizieren und diese getrennt voneinander abzuleiten. Danach setzt man die Zwischenergebnisse in die Formel ein, um die korrekte Ableitung des Logarithmus zu erhalten.

Logarithmen ableiten

Im Folgenden findest du vier Lernvideos, in denen das Ableiten von Logarithmen ausführlich erklärt wird. Dabei wird auf alle Ableitungsregeln anhand verständlicher Beispiele eingegangen.

Faktorregel / Kettenregel

In diesem Mathe Video (5:19 min) wird dir die Anwendung der Faktorregel sowie der Kettenregel anhand einer Logarithmusfunktion gezeigt.

Mehr zur Potenzregel und zur Kettenregel...

Summenregel / Differenzregel

In diesem Mathe Video (2:18 min) wird dir die Anwendung der Summenregel sowie der Differenzregel anhand einer Logarithmusfunktion gezeigt.

Mehr zur Summenregel und zur Differenzregel...

Produktregel

In diesem Mathe Video (2:35 min) wird dir die Anwendung der Produktregel anhand einer Logarithmusfunktion gezeigt.

Mehr zur Produktregel...

Quotientenregel

In diesem Mathe Video (2:52 min) wird dir die Anwendung der Quotientenregel anhand einer Logarithmusfunktion gezeigt.

Mehr zur Quotientenregel...

Mehr zum Thema Ableitungen

Es gibt einige Funktionen, von denen man die Ableitungen auswendig wissen sollte:

  Funktion Ableitungsfunktion
Ableitung Potenzfunktion \(f(x) = x^n\) \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
Ableitung Wurzel \(f(x) = \sqrt{x}\) \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Ableitung e-Funktion \(f(x) = e^x\) \(f'(x) = e^x\)
Ableitung Logarithmus \(f(x) = \ln(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{x}\)
Ableitung Sinus \(f(x) = \sin(x)\) \(f'(x) = \cos(x)\)
Ableitung Cosinus \(f(x) = \cos(x)\) \(f'(x) = -\sin(x)\)
Ableitung Tangens \(f(x) = \tan(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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