Ableitung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Ableitung einer Funktion versteht.

Eine Ableitungsfunktion (kurz: Ableitung) ist eine Funktion,
die jeder Stelle \(x_0\) den Wert ihres Differentialquotienten zuordnet.

Um die obige Definition zu verstehen, ist folgendes Vorwissen notwendig:

Ableitungen spielen vor allem im Rahmen einer Kurvendiskussion einer Rolle. In diesem Zusammenhang sollte man verstehen, wie man die Ableitung einer Funktion interpretieren kann. Insbesondere die 1. Ableitung und die 2. Ableitung sind hierbei von Interesse.

Ableitung wichtiger Funktionen

Wir wissen bereits, dass sich die Ableitung einer Funktion mit Hilfe der h-Methode herleiten lässt. Leider ist dieser Weg sehr aufwändig. Einfacher ist es, wenn man die Ableitungen der wichtigsten Funktionen auswendig kann oder ggf. weiß, wo man diese nachschlagen kann.

Nachfolgende Tabelle bietet einen Überblick über die wichtigsten Ableitungen.

  Funktion Ableitungsfunktion
Ableitung Potenzfunktion \(f(x) = x^n\) \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
Ableitung Wurzel \(f(x) = \sqrt{x}\) \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Ableitung e-Funktion \(f(x) = e^x\) \(f'(x) = e^x\)
Ableitung Logarithmus \(f(x) = \ln(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{x}\)
Ableitung Sinus \(f(x) = \sin(x)\) \(f'(x) = \cos(x)\)
Ableitung Cosinus \(f(x) = \cos(x)\) \(f'(x) = -\sin(x)\)
Ableitung Tangens \(f(x) = \tan(x)\) \(f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\)

Ableitung schwieriger Funktionen

Es reicht leider nicht, wenn man die Ableitung einiger Funktion auswendig kann. Oft sind nämlich mehrere Funktionen durch Rechenzeichen (plus, minus, mal, geteilt) miteinander verbunden oder sogar ineinander verschachtelt. Deshalb musst du dir folgende Ableitungsregeln aneignen:

In diesem Artikel haben wir die Ableitung einer Funktion kennengelernt und zahlreiche Aspekte erwähnt, die zum Verständnis oder zur Anwendung einer Ableitung beitragen. Es lohnt sich, möglichst viele Ableitungen selbständig zu berechnen. Nur auf diese Weise bleiben die Ableitungen der wichtigsten Funktionen sowie die Ableitungsregeln im Gedächtnis.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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