Differenzenquotient

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Differenzenquotient ist.

Problemstellung

Bei den linearen Funktionen sind wir zum ersten Mal dem Begriff "Steigung einer Funktion" begegnet. (Bitte jetzt den folgenden Artikel wiederholen: Steigung einer linearen Funktion)

Wir kennen bereits die Steigungsformel, \[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\] mit deren Hilfe man aus zwei beliebigen Punkten \(\text{P}_0(x_0|y_0)\) und \(\text{P}_1(x_1|y_1)\) die Steigung \(m\) der Geraden berechnen kann.

Interessant ist, dass eine Gerade in jedem Punkt (auf der Geraden) die gleiche Steigung besitzt. \(m\) ist also konstant.

Wir merken uns:

Eine Gerade besitzt eine konstante Steigung.

Quadratische Funktionen haben wir auch schon kennengelernt: Wir wissen bereits, dass der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel ist (siehe Abbildung).

Jetzt stellt sich natürlich die Frage, wie die Steigung einer Kurve (= gekrümmter Graph) definiert ist. Es leuchtet intuitiv ein, dass die Kurve in den Punkten \(\text{P}_0\) und \(\text{P}_1\) eine unterschiedliche Steigung besitzt. Die Steigung \(m\) nimmt folglich keinen konstanten Wert an.

Wir merken uns:

Eine Kurve besitzt keine konstante Steigung.

Fraglich bleibt, was man unter der Steigung einer Kurve überhaupt versteht und wie man diese berechnet. Die Antwort auf diese Fragen liefert die Differentialrechnung:

Mit Hilfe der Differentialrechnung können wir unser Begriffsverständnis einer Steigung von Geraden auf Kurven ausdehnen:

\(\text{Steigung einer Geraden} ~\xrightarrow{+\text{Differentialrechnung}}~ \text{Steigung einer Kurve}\)

Im Folgenden wollen wir also herausfinden, wie die Steigung einer Kurve definiert ist.

Bloß, wie stellen wir das an?

Idee

Wir wenden das Steigungsdreieck auf eine Kurve an!

Steigungsformel \(\rightarrow\) Differenzenquotient

Das Steigungsdreieck haben wir erstmals im Artikel zur Steigung einer linearen Funktion besprochen. Es diente zur Herleitung der Steigungsformel: \[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\] Dabei ist \(m\) die Steigung einer Geraden.

Jetzt schauen wir uns an, was passiert, wenn wir das Steigungsdreieck bei einer Kurve zum Einsatz bringen.

Zunächst markieren wir zwei beliebige Punkte.

Durch diese Punkte ziehen wir eine Gerade.

Eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht, bezeichnet man als Sekante.

Die Formel für die Steigung der Sekante lässt sich wieder über das Steigungsdreick herleiten.

Für die Sekantensteigung \(m\) gilt folglich: \[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\] Bei dieser Formel handelt es sich um den gesuchten Differenzenquotienten. Meist verwendet man jedoch eine etwas andere Schreibweise:

Es gilt: \(y_1 = f(x_1)\) und \(y_0 = f(x_0)\).

Der Differenzenquotient lautet folglich: \[m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\]

Der Vollständigkeit halber möchten wir an dieser Stelle noch eine abkürzende Schreibweise für den Differenzenquotienten erwähnen. Diese Schreibweise basiert auf dem Symbol \(\Delta\), welches in der Mathematik meist für die Differenz (besser gesagt: den Abstand) zweier Werte steht. Bei dem Symbol \(\Delta\) handelt es sich übrigens um den griechischen Großbuchstaben "Delta".

Es gilt: \(\Delta y = y_1 - y_0\)
            \(\Delta x = x_1 - x_0\)

Eine abkürzende Schreibweise für den Differenzenquotienten ist demnach: \[m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\] Seltener schreibt man auch: \[m = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\]

Dabei gilt: \(\Delta f(x) = f(x_1) - f(x_0)\)

Der Differenzenquotient im Vergleich

\({\colorbox{yellow}{Steigungsformel}}\) \[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\] Abkürzende Schreibweise: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\)

Bedeutung: \(m = \text{Geradensteigung}\)

Dabei bezieht sich die Steigung auf die gesamte Gerade.

\({\colorbox{yellow}{Differenzenquotient}}\) \[m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\] Abkürzende Schreibweise: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\)

Bedeutung: \(m = \text{Sekantensteigung}\)

Dabei bezieht sich die Steigung auf die Sekante der Kurve, die durch die Punkte \(\text{P}_0(x_0|y_0)\) und \(\text{P}_1(x_1|y_1)\) verläuft.

Folgende vier Zusammenhänge sollten jetzt bekannt sein:

  1. \(y_1 = f(x_1)\)
  2. \(y_0 = f(x_0)\)
    \[\underbrace{m =\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}_{\text{Steigungsformel}}
    ~~\xrightarrow{y_1 = f(x_1) ~~\text{und}~~ y_0 = f(x_0)}~~
    \underbrace{m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}}_{\text{Differenzenquotient}}\]

  3. \(\Delta y = y_1 - y_0\)
  4. \(\Delta x = x_1 - x_0\)
    \[m = \underbrace{\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}_{\text{Steigungsformel}} = \underbrace{\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}}_{\text{Differenzenquotient}}
    ~~\xrightarrow[\Delta x ~=~ x_1 - x_0]{\Delta y ~=~ y_1 - y_0}~~ \underbrace{m = \frac{\Delta y}{\Delta x}}_{\text{Abkürzung}}\]

Zusammenfassend kann man sagen, dass sich der Differenzenquotient von der Steigungsformel lediglich durch seine Schreibweise unterscheidet. Sowohl der Differenzenquotient als auch die Steigungsformel bedeuten nämlich letztlich dasselbe: Mit beiden Formeln kann man die Steigung einer Geraden berechnen. Beim Differenzenquotient handelt es sich bei dieser Gerade um eine Sekante - also um eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht.

...und wie ist jetzt die Steigung einer Kurve definiert?

Der Differenzenquotient ist leider nur ein Zwischenschritt auf dem Weg zur Steigung einer Kurve. Im nächsten Kapitel schauen wir uns den Differentialquotienten an, mit dessen Hilfe wir die Steigung einer Kurve endlich definieren können. So viel sei schon einmal verraten:
Der Differentialquotient ist der Grenzwert des hier besprochenen Differenzenquotienten!

Mehr zum Thema Differentialrechnung

Im Zusammenhang mit der Differentialrechnung gibt es einige interessante Themen:

Steigung einer linearen Funktion
(Geradensteigung)

\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Differenzenquotient
(> Sekantensteigung)

\[m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Differentialquotient
(> Tangentensteigung)
\[m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
h-Methode
(> Ableitung)
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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