Steigung
einer linearen Funktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Steigung einer linearen Funktion berechnet.

Die Normalform einer linearen Funktion lautet

\(y = mx + n\)

Dabei steht der Buchstabe \(m\) für die Steigung.

Beispiel

Die Funktion

\(y = {\color{red}2}x + 1\)

besitzt die Steigung \(m = {\color{red}2}\).

Problemstellung

In einigen Aufgaben ist die lineare Funktion unbekannt. Die Steigung lässt sich dann natürlich nicht mehr so einfach ablesen wie in dem obigen Beispiel. Meist ist entweder nur

  • der Graph der linearen Funktion,
  • zwei Punkte, die auf der Geraden liegen oder
  • der Steigungswinkel

gegeben.

Es lohnt sich, zunächst die Kapitel zum Steigungsdreieck und zur Steigungsformel zu lesen.

a) Steigung berechnen (Graph gegeben)

Vorgehensweise 1

  1. Koordinaten zweier Punkte ablesen
  2. Koordinaten der Punkte in Steigungsformel einsetzen

Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion.

Gesucht ist die Steigung.

Wir lesen zwei beliebige Punkte ab

\(P_0({\color{maroon}0}|{\color{red}1})\) und \(P_1({\color{maroon}4}|{\color{red}3})\)

und setzen sie in die Steigungsformel ein \[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{{\color{red}3} - ({\color{red}1})}{{\color{maroon}4} - {\color{maroon}0}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

Vorgehensweise 2

  1. Steigungsdreieck

Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion.

Gesucht ist die Steigung.

Um die Steigung graphisch zu ermitteln, brauchen wir ein sog. Steigungsdreieck.

Dazu suchen wir uns einen beliebigen Punkt auf der Geraden und gehen von diesem eine Längeneinheit nach rechts (also in x-Richtung)...

...von diesem Punkt gehen wir solange nach oben (also in y-Richtung), bis wir wieder die Gerade getroffen haben.

Wir können ablesen, dass wir zwei Längeneinheiten nach oben gehen müssen, bis der Graph der linearen Funktion erreicht ist.

Für die Steigung gilt
\[m = \frac{y}{x} = \frac{2}{1} = 2\]

Alternativ können wir auch mehr oder weniger Längeneinheiten in x-Richtung gehen.
Wenn wir z.B. zwei Längeneinheiten in x-Richtung gehen, dann müssen wir vier Längeneinheiten in y-Richtung gehen, bis wir den Graph erreichen.

An dem Wert der Steigung ändert sich dadurch natürlich nichts
\[m = \frac{y}{x} = \frac{4}{2} = 2\]

Es empfiehlt sich, stets eine Längeneinheit in x-Richtung zu gehen, da sich dadurch die Berechnung der Steigung erheblich vereinfacht. Sie entspricht dann nämlich dem Wert, den man in y-Richtung abliest.

Für \(x = 1\) gilt

\[m = \frac{y}{x} = \frac{y}{1} = y\]

b) Steigung berechnen (2 Punkte gegeben)

Vorgehensweise

  1. Koordinaten der Punkte in Steigungsformel einsetzen

Beispiel

Gegeben sind zwei Punkte \(P_0({\color{maroon}2}|{\color{red}-3})\) und \(P_1({\color{maroon}4}|{\color{red}6})\).
Wie groß ist die Steigung der Geraden, die durch diese beiden Punkte verläuft?

Wir setzen die Koordinaten der Punkte in die Steigungsformel ein und erhalten

\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{{\color{red}6} - ({\color{red}-3})}{{\color{maroon}4} - {\color{maroon}2}} = \frac{9}{2} = 4,5\]

Merke: Das Vertauschen der Punkte ändert nichts am Ergebnis!

\[m = \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} = \frac{{\color{red}-3} - {\color{red}6}}{{\color{maroon}2} - {\color{maroon}4}} = \frac{-9}{-2} = 4,5\]

c) Steigung berechnen (mit Steigungswinkel)

\(m = \tan \alpha\)

Im Kapitel Steigungswinkel erfährst du mehr über dieses Thema.

Beispiel

Gesucht ist die Steigung einer Geraden,
die mit der x-Achse einen Winkel von 60° einschließt.

\(m = \tan(60°) = \sqrt{3}\)

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Mehr zu linearen Funktionen

Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.

Untersuchung einer Funktion
Lineare Funktionen zeichnen
Punktprobe
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
Nullstelle einer linearen Funktion berechnen
Steigung einer linearen Funktion berechnen
> Steigungsdreieck
> Steigungsformel
> Steigungswinkel
Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen
Untersuchung zweier Funktionen
Lage zweier Geraden bestimmen
> Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
> Schnittwinkel zweier Geraden berechnen
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion bilden
Aufgaben mit Lösungen
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Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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