Lage zweier Geraden
(Lineare Funktionen)
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Lage zweier Geraden bestimmt.
Bei den vorangegangenen Themen ging es immer nur um eine lineare Funktion. Jetzt ist es an der Zeit, dass wir uns mit zwei linearen Funktionen beschäftigen. In diesem Zusammenhang müssen wir uns fragen, wie sich zwei Geraden zueinander verhalten können. Man spricht in diesem Zusammenhang von der Lage zweier Geraden oder der Lagebeziehung Gerade-Gerade.
Lage zweier Geraden bestimmen
Um die Lage zweier Geraden zu bestimmen müssen wir die Funktionsgleichungen miteinander vergleichen. Es gibt drei mögliche Lagen, zu denen wir uns jeweils ein Beispiel anschauen.
1. Identische Geraden
\(g:~~y = {\color{red}2}x{\color{red}-2}\)
\(h:~~y = {\color{red}2}x{\color{red}-2}\)
Wenn die beiden Funktionsgleichungen sowohl in ihrer Steigung als auch in ihrem y-Achsenabschnitt übereinstimmen, sind die beiden Geraden identisch.
2. Parallele Geraden
\(g:~~y = {\color{red}-0,5}x+2\)
\(h:~~y = {\color{red}-0,5}x-1\)
Wenn die beiden Funktionsgleichungen zwar in ihrer Steigung, nicht jedoch in ihrem y-Achsenabschnitt übereinstimmen, sind die Geraden parallel.
3. Sich schneidende Geraden
\(g:~~y = 1,5x+2\)
\(h:~~y = -3x-4\)
Wenn die beiden Funktionsgleichungen eine unterschiedliche Steigung besitzen, schneiden sich die beiden Geraden in einem Schnittpunkt.
Sich schneidende Geraden
(Sonderfall: Senkrechte Geraden)
\(g:~~y = 1,5x+2\)
\(h:~~y = -\frac{2}{3}x-4\)
Gilt
\(m_g \cdot m_h = -1\)
stehen die Geraden \(g\) und \(h\) aufeinander senkrecht (d.h. \(\alpha = 90°\)).
Dabei ist \(m_g\) die Steigung der Geraden \(g\) und \(m_h\) die Steigung von \(h\).
Statt senkrechte Geraden sagt man oft auch orthogonale Geraden.
Zusammenfassung: Lage zweier Geraden
Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier linearer Gleichungen
\(g:~~y = ax + b\)
\(h:~~y = cx + d\)
| Bedingung | Bedeutung | Erklärung |
| \(a = c\) UND \(b = d\) | \(g = h\) | Geraden sind identisch |
| \(a = c\), aber \(b \neq d\) | \(g \parallel h\) | Geraden verlaufen parallel zueinander |
| \(a \neq c\) | \(g \cap h = \{S\}\) | Geraden schneiden sich in einem Schnittpunkt |
| Sonderfall | ||
| \(a \cdot c = -1\) | \(g \perp h\) | Geraden stehen senkrecht aufeinander |
Mit dem Wissen, das wir uns in diesem Kapitel angeeignet haben, können wir die Lage zweier Geraden bestimmen, ohne auch nur eine einzige Rechnung durchgeführt zu haben.
Mehr zu linearen Funktionen
Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.
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Andreas Schneider