Funktionsgleichung
einer linearen Funktion
In diesem Kapitel lernen wir, die Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu bestimmen.
Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion in Normalform lautet
\(y = mx + n\)
Dabei ist \(m\) die Steigung und \(n\) der y-Achsenabschnitt.
In manchen Aufgaben ist die Funktionsgleichung gesucht. Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aufzustellen, brauchen wir die Steigung \(m\) und den y-Achsenabschnitt \(n\).
Beispiel
Ist für die Steigung \(m = {\color{red}{-2}}\) und für den y-Achsenabschnitt \(n = {\color{blue}{3}}\) gegeben, so gilt:
\(y = {\color{red}{-2}}x + {\color{blue}{3}}\)
Leider lässt sich in den wenigsten Fällen die Funktionsgleichung so einfach bestimmen. Meist ist entweder die Steigung, der y-Achsenabschnitt oder beides zu berechnen. Im Folgenden lernen wir einige Möglichkeiten kennen, die Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu bestimmen. Dabei gibt es vier Fälle in Abhängigkeit davon, was in der Aufgabenstellung gegeben ist:
- ein Punkt und die Steigung
- ein Punkt und der y-Achsenabschnitt
- zwei Punkte
- der Graph der Funktion
Funktionsgleichung mit Hilfe eines Punktes und der Steigung bestimmen
Gegeben ist der Punkt \(P(2|0)\) und die Steigung \(m = \frac{1}{2}\).
1.) y-Achsenabschnitt \(n\) berechnen
Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet allgemein
\(y = mx + n\)
Die Steigung \(m\) ist gegeben. \(x\) und \(y\) sind die Koordinaten des gegebenen Punktes. Setzen wir diese Informationen in die Normalform ein, so erhalten wir
\(0 = \frac{1}{2} \cdot 2 + n\)
\(0 = 1 + n\)
\(n = -1\)
2.) Funktionsgleichung aufstellen
Setzen wir \(m = \frac{1}{2}\) und \(n = -1\) in die Normalform für lineare Funktionen ein, so erhalten wir die gesuchte Funktionsgleichung
\[y = \frac{1}{2}x - 1\]
Zusammenfassung
(ein Punkt und Steigung gegeben)
- Steigung \(m\) sowie die Koordinaten des Punktes P(x|y) in die Normalform einsetzen und nach \(n\) auflösen
- Funktionsgleichung aufstellen
Funktionsgleichung mit Hilfe eines Punktes und des y-Achsenabschnitts bestimmen
Gegeben ist der Punkt \(P(2|0)\) und der y-Achsenabschnitt \(n = -1\).
1.) Steigung \(m\) berechnen
Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet allgemein
\(y = mx + n\)
Der y-Achsenabschnitt \(n\) ist gegeben. \(x\) und \(y\) sind die Koordinaten des gegebenen Punktes. Setzen wir diese Informationen in die Normalform ein, so erhalten wir
\(0 = m \cdot 2 - 1\)
\(1 = 2m\)
\(m = \frac{1}{2}\)
2.) Funktionsgleichung aufstellen
Setzen wir \(m = \frac{1}{2}\) und \(n = -1\) in die Normalform für lineare Funktionen ein, so erhalten wir die gesuchte Funktionsgleichung
\[y = \frac{1}{2}x - 1\]
Zusammenfassung
(ein Punkt und y-Achsenabschnitt gegeben)
- y-Achsenabschnitt \(n\) sowie die Koordinaten des Punktes P(x|y) in die Normalform einsetzen und nach \(m\) auflösen
- Funktionsgleichung aufstellen
Funktionsgleichung mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen
Gegeben sind die beiden Punkte
\(P_1(-2|-2)\)
\(P_2(2|0)\)
Im Folgenden schauen wir uns an, wie man die Funktionsgleichung für die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht, bestimmt.
1.) Steigung \(m\) berechnen
Aus dem letzten Kapitel ("Steigung einer linearen Funktion berechnen") kennen wir die Formel zur Berechnung der Steigung, wenn zwei Punkte gegeben sind
\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
In unserem Beispiel berechnet sich die Steigung also zu
\[m = \frac{0 - (-2)}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]
Jetzt kennen wir bereits die Steigung der gesuchten Funktionsgleichung.
...es fehlt nur noch der y-Achsenabschnitt \(n\).
2.) y-Achsenabschnitt \(n\) berechnen
Wir wissen, dass die Normalform einer linearen Funktion folgendermaßen aussieht
\(y = mx + n\)
Die Steigung \(m\) haben wir eben berechnet. Für unser Beispiel gilt entsprechend
\[y = \frac{1}{2}x + n\]
Wenn wir jetzt die Koordinaten eines der gegebenen Punkte P(x|y) einsetzen, können wir ganz leicht den gesuchten Achsenabschnitt berechnen.
Wir setzen den Punkt \(P_2(2|0)\) in die Gleichung ein und erhalten
\[0 = \frac{1}{2}\cdot 2 + n\]
\[0 = 1 + n\]
\[n = -1\]
Alternativ können wir auch den anderen Punkt \(P_1(-2|-2)\) einsetzen, was zu demselben Ergebnis führt
\[-2 = \frac{1}{2}\cdot (-2) + n\]
\[-2 = -1 + n\]
\[n = -1\]
3.) Funktionsgleichung aufstellen
Setzen wir \(m = \frac{1}{2}\) und \(n = -1\) in die Normalform für lineare Funktionen ein, so erhalten wir die gesuchte Funktionsgleichung
\[y = \frac{1}{2}x - 1\]
Zusammenfassung
(zwei Punkte gegeben)
- Steigung \(m\) mit Hilfe der Steigungsformel berechnen
- Steigung \(m\) sowie die Koordinaten eines der beiden Punkte P(x|y) in die Normalform einsetzen und nach \(n\) auflösen
- Funktionsgleichung aufstellen
Funktionsgleichung bestimmen durch Ablesen am Graphen
Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion.
Gesucht ist die Funktionsgleichung.
Dazu müssen wir wieder den Achsenabschnitt \(n\) und die Steigung \(m\) berechnen.
1.) y-Achsenabschnitt \(n\) ablesen
Der y-Achsenabschnitt \(n\) ist der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet.
Wir können leicht ablesen, dass dies für \(n = -1\) der Fall ist.
Jetzt fehlt nur noch die Steigung.
2.) Steigung \(m\) berechnen
Zunächst wählen wir zwei beliebige Punkte aus.
Mit Hilfe der beiden Punkte können wir das Steigungsdreieck aufstellen, dass uns beim Berechnen der Steigung hilft.
Graphisch erhalten wir die erste Seite, indem wir in x-Richtung von \(P_1\) bis \(P_2\) gehen.
Rechnerisch erhalten wir die Seitenlänge, indem wir von der x-Koordinaten des zweiten Punktes (\(x_2\)) die x-Koordinate des ersten Punktes (\(x_1\)) abziehen.
\(x = x_2 - x_1 = 2 - (-2) = 4\)
Graphisch erhalten wir die zweite Seite, indem wir in y-Richtung bis \(P_2\) gehen.
Rechnerisch erhalten wir die zweite Seitenlänge, indem wir von der y-Koordinaten des zweiten Punktes (\(y_2\)) die y-Koordinate des ersten Punktes (\(y_1\)) abziehen.
\(y = y_2 - y_1 = 0 - (-2) = 2\)
Für die Steigung der linearen Funktion gilt
\[m = \frac{y}{x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]
Mehr zur graphischen Ermittlung der Steigung erfährst du im vorhergehenden Kapitel ("Steigung berechnen").
3.) Funktionsgleichung aufstellen
Setzen wir \(m = \frac{1}{2}\) und \(n = -1\) in die Normalform für lineare Funktionen ein, so erhalten wir die gesuchte Funktionsgleichung
\[y = \frac{1}{2}x - 1\]
Zusammenfassung
(Graph gegeben)
- y-Achsenabschnitt ablesen
- Steigung \(m\) mit Hilfe des Steigungsdreiecks berechnen
- Funktionsgleichung aufstellen
Mehr zu linearen Funktionen
Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.
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