Funktionsgleichung
einer linearen Funktion

Funktionsgleichung mit Hilfe eines Punktes und der Steigung bestimmen

Gegeben ist der Punkt \(P(2|0)\) und die Steigung \(m = \frac{1}{2}\).

1.) y-Achsenabschnitt \(n\) berechnen

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet allgemein

\(y = mx + n\)

Die Steigung \(m\) ist gegeben. \(x\) und \(y\) sind die Koordinaten des gegebenen Punktes. Setzen wir diese Informationen in die Normalform ein, so erhalten wir

\(0 = \frac{1}{2} \cdot 2 + n\)

\(0 = 1 + n\)

\(n = -1\)

2.) Funktionsgleichung aufstellen

Setzen wir \(m = \frac{1}{2}\) und \(n = -1\) in die Normalform für lineare Funktionen ein, so erhalten wir die gesuchte Funktionsgleichung

\[y = \frac{1}{2}x - 1\]

Funktionsgleichung mit Hilfe eines Punktes und des y-Achsenabschnitts bestimmen

Gegeben ist der Punkt \(P(2|0)\) und der y-Achsenabschnitt \(n = -1\).

1.) Steigung \(m\) berechnen

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet allgemein

\(y = mx + n\)

Der y-Achsenabschnitt \(n\) ist gegeben. \(x\) und \(y\) sind die Koordinaten des gegebenen Punktes. Setzen wir diese Informationen in die Normalform ein, so erhalten wir

\(0 = m \cdot 2 - 1\)

\(1 = 2m\)

\(m = \frac{1}{2}\)

2.) Funktionsgleichung aufstellen

Setzen wir \(m = \frac{1}{2}\) und \(n = -1\) in die Normalform für lineare Funktionen ein, so erhalten wir die gesuchte Funktionsgleichung

\[y = \frac{1}{2}x - 1\]

Funktionsgleichung mit Hilfe von zwei Punkten bestimmen

Gegeben sind die beiden Punkte

\(P_1(-2|-2)\)

\(P_2(2|0)\)

Im Folgenden schauen wir uns an, wie man die Funktionsgleichung für die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht, bestimmt.

1.) Steigung \(m\) berechnen

Aus dem letzten Kapitel ("Steigung einer linearen Funktion berechnen") kennen wir die Formel zur Berechnung der Steigung, wenn zwei Punkte gegeben sind

\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

In unserem Beispiel berechnet sich die Steigung also zu

\[m = \frac{0 - (-2)}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

Jetzt kennen wir bereits die Steigung der gesuchten Funktionsgleichung.

...es fehlt nur noch der y-Achsenabschnitt \(n\).

2.) y-Achsenabschnitt \(n\) berechnen

Wir wissen, dass die Normalform einer linearen Funktion folgendermaßen aussieht

\(y = mx + n\)

Die Steigung \(m\) haben wir eben berechnet. Für unser Beispiel gilt entsprechend

\[y = \frac{1}{2}x + n\]

Wenn wir jetzt die Koordinaten eines der gegebenen Punkte P(x|y) einsetzen, können wir ganz leicht den gesuchten Achsenabschnitt berechnen.

Wir setzen den Punkt \(P_2(2|0)\) in die Gleichung ein und erhalten

\[0 = \frac{1}{2}\cdot 2 + n\]

\[0 = 1 + n\]

\[n = -1\]

Alternativ können wir auch den anderen Punkt \(P_1(-2|-2)\) einsetzen, was zu demselben Ergebnis führt

\[-2 = \frac{1}{2}\cdot (-2) + n\]

\[-2 = -1 + n\]

\[n = -1\]

3.) Funktionsgleichung aufstellen

Setzen wir \(m = \frac{1}{2}\) und \(n = -1\) in die Normalform für lineare Funktionen ein, so erhalten wir die gesuchte Funktionsgleichung

\[y = \frac{1}{2}x - 1\]

Funktionsgleichung bestimmen durch Ablesen am Graphen

3.) Funktionsgleichung aufstellen

Setzen wir \(m = \frac{1}{2}\) und \(n = -1\) in die Normalform für lineare Funktionen ein, so erhalten wir die gesuchte Funktionsgleichung

\[y = \frac{1}{2}x - 1\]

Mehr zu linearen Funktionen

Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.