Steigungsformel
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Steigungsformel versteht.
Steigungsformel
\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\]
Mit Hilfe der Steigungsformel kann man die Steigung einer Geraden berechnen,
von der die beiden Punkte \(P_0(x_0|y_0)\) und \(P_1(x_1|y_1)\) bekannt sein.
Im letzten Kapitel haben wir uns angeschaut, wie man die Steigungsformel mit Hilfe des Steigungsdreiecks herleitet:
\[m = \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\]
Beispiel
Gegeben sind zwei Punkte \(P_0({\color{maroon}2}|{\color{red}-3})\) und \(P_1({\color{maroon}4}|{\color{red}6})\).
Wie groß ist die Steigung der Geraden, die durch diese beiden Punkte verläuft?
Wir setzen die Koordinaten der Punkte in die Steigungsformel ein und erhalten
\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{{\color{red}6} - ({\color{red}-3})}{{\color{maroon}4} - {\color{maroon}2}} = \frac{9}{2} = 4,5\]
Merke: Das Vertauschen der Punkte ändert nichts am Ergebnis!
\[m = \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} = \frac{{\color{red}-3} - {\color{red}6}}{{\color{maroon}2} - {\color{maroon}4}} = \frac{-9}{-2} = 4,5\]
Der Vollständigkeit halber möchten wir an dieser Stelle noch eine abkürzende Schreibweise für die Steigungsformel erwähnen. Diese Schreibweise basiert auf dem Symbol \(\Delta\), welches in der Mathematik meist für die Differenz (besser gesagt: den Abstand) zweier Werte steht. Bei dem Symbol \(\Delta\) handelt es sich übrigens um den griechischen Großbuchstaben "Delta".
Es gilt: \(\Delta y = y_1 - y_0\)
\(\Delta x = x_1 - x_0\)
Eine abkürzende Schreibweise für die Steigungsformel ist demnach:
\[m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
Mehr zu linearen Funktionen
Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.
| Untersuchung einer Funktion |
| Lineare Funktionen zeichnen |
| Punktprobe |
| y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen |
| Nullstelle einer linearen Funktion berechnen |
| Steigung einer linearen Funktion berechnen |
| > Steigungsdreieck |
| > Steigungsformel |
| > Steigungswinkel |
| Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen |
| Untersuchung zweier Funktionen |
| Lage zweier Geraden bestimmen |
| > Schnittpunkt zweier Geraden berechnen |
| > Schnittwinkel zweier Geraden berechnen |
| Umkehrfunktion |
| Umkehrfunktion bilden |
| Aufgaben mit Lösungen |
| Lineare Funktionen - Aufgaben [eBook zum Download] |
Hat dir meine Erklärung geholfen?
Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider