Steigungsformel
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Steigungsformel versteht.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Im letzten Kapitel haben wir uns angeschaut, wie man die Steigungsformel mithilfe des Steigungsdreiecks herleitet:
$$ m = \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$
Formel
Mithilfe der Steigungsformel kann man die Steigung einer Gerade berechnen, von der die beiden Punkte $P_0(x_0|y_0)$ und $P_1(x_1|y_1)$ bekannt sein:
Steigungsformel
$$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$
Anmerkung
$$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} $$
Das Vertauschen der Punkte ändert nichts am Ergebnis!
Abkürzende Schreibweise
Diese Schreibweise basiert auf dem Symbol $\Delta$ (griechischer Großbuchstabe Delta
), welches in der Mathematik meist für die Differenz (besser gesagt: den Abstand) zweier Werte steht.
Es gilt:$\Delta y = y_1 - y_0$$\Delta x = x_1 - x_0$
Eine abkürzende Schreibweise für die Steigungsformel ist demnach:
$$ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Beispiel
Gegeben sind zwei Punkte $P_0({\color{maroon}2}|{\color{red}-3})$ und $P_1({\color{maroon}4}|{\color{red}6})$.
Wie groß ist die Steigung der Gerade, die durch diese beiden Punkte verläuft?
Formel aufschreiben
$$ m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{m} = \frac{{\color{red}6} - ({\color{red}-3})}{{\color{maroon}4} - {\color{maroon}2}} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{m} &= \frac{9}{2} \\[5px] &= 4{,}5 \end{align*} $$
