Steigungsformel
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Steigungsformel versteht.
Steigungsformel
\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\]
Mit Hilfe der Steigungsformel kann man die Steigung einer Geraden berechnen,
von der die beiden Punkte \(P_0(x_0|y_0)\) und \(P_1(x_1|y_1)\) bekannt sein.
Im letzten Kapitel haben wir uns angeschaut, wie man die Steigungsformel mit Hilfe des Steigungsdreiecks herleitet: \[m = \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}\]
Beispiel
Gegeben sind zwei Punkte \(P_0({\color{maroon}2}|{\color{red}-3})\) und \(P_1({\color{maroon}4}|{\color{red}6})\).
Wie groß ist die Steigung der Geraden, die durch diese beiden Punkte verläuft?
Wir setzen die Koordinaten der Punkte in die Steigungsformel ein und erhalten
\[m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{{\color{red}6} - ({\color{red}-3})}{{\color{maroon}4} - {\color{maroon}2}} = \frac{9}{2} = 4,5\]
Merke: Das Vertauschen der Punkte ändert nichts am Ergebnis!
\[m = \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} = \frac{{\color{red}-3} - {\color{red}6}}{{\color{maroon}2} - {\color{maroon}4}} = \frac{-9}{-2} = 4,5\]
Der Vollständigkeit halber möchten wir an dieser Stelle noch eine abkürzende Schreibweise für die Steigungsformel erwähnen. Diese Schreibweise basiert auf dem Symbol \(\Delta\), welches in der Mathematik meist für die Differenz (besser gesagt: den Abstand) zweier Werte steht. Bei dem Symbol \(\Delta\) handelt es sich übrigens um den griechischen Großbuchstaben "Delta".
Es gilt: \(\Delta y = y_1 - y_0\)
\(\Delta x = x_1 - x_0\)
Eine abkürzende Schreibweise für die Steigungsformel ist demnach: \[m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
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