Summe von Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie die Summe von Funktionen berechnet wird.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Verknüpfung von Funktionen
Einordnung
Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Neben der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation und der Division gibt es für Funktionen eine weitere Verknüpfung namens Verkettung
.
Verknüpfung von Funktionen
- Summe (
$f + g$) - Differenz (
$f - g$) - Produkt (
$f \cdot g$) - Quotient (
$\frac{f}{g}$) - Verkettung (
$f \circ g$)
Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.
Definition
Gegeben seien zwei Funktionen $f$ und $g$ mit ihren Definitionsmengen $\mathbb{D}_f$ und $\mathbb{D_g}$.
$$ (f+g)(x) = f(x) + g(x) \text{ mit } \mathbb{D}_{f+g} = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g $$
Die Summe zweier Funktionen $f$ und $g$ ist definiert als die Summe ihrer Funktionsterme. Die Definitionsmenge der Summenfunktion $\mathbb{D}_{f+g}$ entspricht der Schnittmenge von $\mathbb{D}_f$ und $\mathbb{D_g}$.
Beispiele
Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit$f(x) = 2x + 1$ ($\mathbb{D_f} = \mathbb{R}$) und$g(x) = 3x^2 - 2$ ($\mathbb{D_g} = \mathbb{R}$).
Berechne $h = f + g$ und gib die Definitionsmenge der Summenfunktion an.
$$ \begin{align*} h(x) &= f(x) + g(x) \\[5px] &= (2x + 1) + (3x^2 - 2) \\[5px] &= 2x + 1 + 3x^2 - 2 \\[5px] &= 3x^2 + 2x - 2 + 1 \\[5px] &= 3x^2 + 2x - 1 \end{align*} $$
Für die Definitionsmenge der Summenfunktion $h$ gilt:
$$ \begin{align*} \mathbb{D}_h &= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \\[5px] &= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \\[5px] &= \mathbb{R} \end{align*} $$
Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit$f(x) = 2x + 1$ ($\mathbb{D_f} = \mathbb{R}$) und$g(x) = 3x^2 - 2$ ($\mathbb{D_g} = \mathbb{R}$).
Berechne $h = g + f$ und gib die Definitionsmenge der Summenfunktion an.
$$ \begin{align*} h(x) &= g(x) + f(x) \\[5px] &= (3x^2 - 2) + (2x + 1) \\[5px] &= 3x^2 - 2 + 2x + 1 \\[5px] &= 3x^2 + 2x - 2 + 1 \\[5px] &= 3x^2 + 2x - 1 \end{align*} $$
Für die Definitionsmenge der Summenfunktion $h$ gilt:
$$ \begin{align*} \mathbb{D}_h &= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \\[5px] &= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \\[5px] &= \mathbb{R} \end{align*} $$
Rechengesetze
Bei der Addition der Funktionen $f$, $g$ und $h$ gilt, dass sich das Ergebnis nicht ändert…
…wenn du die Summanden vertauscht.
…wenn du Klammern vertauscht, setzt oder ganz weglässt.
Anwendungen
- In der Differentialrechnung beim Ableiten von Summenfunktionen
- In der Integralrechnung beim Integrieren von Summenfunktionen
