Summe von Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie die Summe von Funktionen berechnet wird.

Kontext

Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.

Verknüpfung von Funktionen

  • Summe (\(f + g\))
  • Differenz (\(f - g\))
  • Produkt (\(f \cdot g\))
  • Quotient (\(\frac{f}{g}\))
  • Verkettung (\(f \circ g\))

Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.

Definition der Summe von Funktionen

Gegeben seien zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit ihren Definitionsmengen \(\mathbb{D}_f\) und \(\mathbb{D_g}\).

\((f+g)(x) = f(x) + g(x)\) mit \(\mathbb{D}_{f+g} = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\)

Die Summe zweier Funktionen \(f\) und \(g\) ist definiert als die Summe ihrer Funktionsterme. Die Definitionsmenge der Summenfunktion \(\mathbb{D}_{f+g}\) entspricht der Schnittmenge von \(\mathbb{D}_f\) und \(\mathbb{D_g}\).

Beispiele für die Summe von Funktionen

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) (\(\mathbb{D_f} = \mathbb{R}\)) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\) (\(\mathbb{D_g} = \mathbb{R}\)).

Aufgabenstellung

a) Berechne \(h_1 = f + g\) und gib die Definitionsmenge der Summenfunktion an.
b) Berechne \(h_2 = g + f\) und gib die Definitionsmenge der Summenfunktion an.
c) Untersuche \(h_1\) und \(h_2\) auf Gleichheit.

Lösung zu a)

\(\begin{align*}
h_1(x)
&= f(x) + g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) + (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 2 + 1\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 1
\end{align*}\)

Für die Definitionsmenge der Summenfunktion \(h_1\) gilt:

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_{h_1}
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

Abbildung zu Aufgabe a)

Lösung zu b)

\(\begin{align*}
h_2(x)
&= g(x) + f(x)\\[5px]
&=  (3x^2 - 2) + (2x + 1)\\[5px]
&= 3x^2 - 2 + 2x + 1\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 2 + 1\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 1
\end{align*}\)

Für die Definitionsmenge der Summenfunktion \(h_2\) gilt:

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_{h_2}
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

Abbildung zu Aufgabe b)

Lösung zu c)

Wir erkennen, dass gilt: \(h_1 = h_2 \Rightarrow f + g = g + f\).

Rechengesetze der Addition

Bei der Addition der Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) gilt, dass sich das Ergebnis nicht ändert,...

Kommutativgesetz

\(f + g = g + f\)

...wenn du die Summanden vertauscht.

Assoziativgesetz

\((f + g) + h = f + (g + h)\)

...wenn du Klammern vertauscht, setzt oder ganz weglässt.

Summe von Funktionen im Einsatz

  • In der Differentialrechnung beim Ableiten von Summenfunktionen
    (siehe Summenregel)
  • In der Integralrechnung beim Integrieren von Summenfunktionen
    (siehe Integrationsregeln)

Überblick: Verknüpfungen von Funktionen

Summe von Funktionen \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
Differenz von Funktionen \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)
Produkt von Funktionen \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
Quotient von Funktionen \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)
Verkettung von Funktionen \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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