Punktsymmetrie
zum Ursprung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt.

Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt

\(f(-x) = -f(x)\)

Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben

  1. \(-x\) in die Funktion einsetzen
  2. Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(-f(x)\) ist

Ist die Funktion \(f(x)\) punktsymmetrisch?

Beispiel 1

\(f(x) = x^3\)

1.) \(-x\) in die Funktion einsetzen

\(f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^3 = -x^3\)

Da der Exponent ungerade ist, bleibt das negative Vorzeichen erhalten.

2.) Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(-f(x)\) ist

\(f(-x) = -x^3 = -f(x)\)

\(\Rightarrow\) Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung

Beispiel 2

\(f(x) = x^2\)

1.) \(-x\) in die Funktion einsetzen

\(f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^2 = x^2\)

Da der Exponent gerade ist, fällt das negative Vorzeichen weg.

2.) Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(-f(x)\) ist

\(f(-x) = x^2 \neq -f(x)\)

\(\Rightarrow\) Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung

Beispiel 3

\(f(x) = x^5 - 3x\)

1.) \(-x\) in die Funktion einsetzen

\(f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^5 - 3({\color{red}-x}) = -x^5 + 3x = -(x^5-3x)\)

Da beide Exponenten ungerade sind, bleiben die negativen Vorzeichen erhalten.
Anschließend Klammern wir -1 aus, damit wir das Ergebnis einfacher ablesen können.

2.) Prüfen, ob Ergebnis aus Schritt 1 gleich \(-f(x)\) ist

\(f(-x) = -(x^5-3x) = -f(x)\)

\(\Rightarrow\) Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung

Punktsymmetrie - Graphisches Beispiel

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x)=x^3\) eingezeichnet. Der Punkt S(0|0), zu dem der Graph der Funktion punktsymmetrisch ist, wurde farblich hevorgehoben.
Als Beispiel ist der Punkt P (2|8) eingezeichnet. Dieser wird durch die Symmetrieachse auf den Punkt P'(-2|-8) abgebildet. Dabei gilt:
\(f(2)=2^3 = 8\)
\(f(-2)=(-2)^3 = -8\)
bzw.
\(f(-x)=-f(x)\)

Mehr zum Symmetrieverhalten

Wenn du mehr zum Symmetrieverhalten erfahren möchtest, lies dir folgende Kapitel durch:

  Bedingung
Achsensymmetrie zur y-Achse \(f(-x) = f(x)\)
Punktsymmetrie zum Ursprung \(f(-x) = -f(x)\)
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse \(f(x_0+h) = f(x_0-h)\)
Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt \(f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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