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Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse vorliegt.

Symmetrie zu einer Achse liegt vor, wenn gilt

\(f(x_0+h) = f(x_0-h)\)

Dabei ist \(x_0\) die Gleichung der Achse.

Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben

  1. \(x_0+h\) in die Funktion einsetzen
  2. \(x_0-h\) in die Funktion einsetzen
  3. Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Beispiel 1

\(f(x) = x^2 - 4x + 4\)

Ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse \(x_0 = 2\) symmetrisch?

1.) \(x_0+h\) in die Funktion einsetzen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) &= ({\color{red}2+h})^2 - 4({\color{red}2+h}) + 4\\
&= 4 +4h + h^2 - 8 - 4h + 4\\
&= h^2
\end{align*}\)

2.) \(x_0-h\) in die Funktion einsetzen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0-h}) &= ({\color{red}2-h})^2 - 4({\color{red}2-h}) + 4\\
&= 4 - 4h + h^2 - 8 + 4h + 4\\
&= h^2
\end{align*}\)

3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

\(f(x_0+h)=f(x_0-h)\)

bzw.

\(h^2 = h^2\)

ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse mit der Gleichung \(x_0 = 2\) symmetrisch.

Beispiel 2

\(f(x) = x^2 + 6x + 9\)

Ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse \(x_0 = -3\) symmetrisch?

1.) \(x_0+h\) in die Funktion einsetzen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) &= ({\color{red}-3+h})^2 + 6({\color{red}-3+h}) + 9\\
&= 9 - 6h + h^2 - 18 + 6h + 9\\
&= h^2
\end{align*}\)

2.) \(x_0-h\) in die Funktion einsetzen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0-h}) &= ({\color{red}-3-h})^2 + 6({\color{red}-3-h}) + 9\\
&= 9 + 6h + h^2 - 18 - 6h + 9\\
&= h^2
\end{align*}\)

3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

\(f(x_0+h)=f(x_0-h)\)

bzw.

\(h^2 = h^2\)

ist die Funktion \(f(x)\) zur Achse mit der Gleichung \(x_0 = -3\) symmetrisch.

Achsensymmetrie - Graphisches Beispiel

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x)=x^2-4x+4\) eingezeichnet (vgl. Beispiel 1). Die Symmetrieachse \(x_0 = 2\) ist farblich durch eine gestrichelte rote Linie hervorgehoben.
Als Beispiel ist der Punkt P (4|4) eingezeichnet. Dieser wird durch die Symmetrieachse auf den Punkt P'(0|4) abgebildet. Dabei gilt:
\(f(4)=4^2-4 \cdot 4 +4 = 4\)
\(f(0)= 0^2-4 \cdot 0 +4 = 4\)
bzw.
\(f(2+h)=f(2-h)\)

Mehr zum Symmetrieverhalten

Wenn du mehr zum Symmetrieverhalten erfahren möchtest, lies dir folgende Kapitel durch:

  Bedingung
Achsensymmetrie zur y-Achse \(f(-x) = f(x)\)
Punktsymmetrie zum Ursprung \(f(-x) = -f(x)\)
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse \(f(x_0+h) = f(x_0-h)\)
Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt \(f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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