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Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wann Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt vorliegt.

Symmetrie zu einem Punkt liegt vor, wenn gilt

\(f(x_0+h) - y_0= - f(x_0-h) + y_0\)

Dabei sind \(x_0\) und \(y_0\) die Koordinaten des Punktes.

Das Vorgehen lässt sich also folgendermaßen beschreiben

  1. \(f(x_0+h) - y_0\) berechnen
  2. \(- f(x_0-h) + y_0\) berechnen
  3. Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Beispiel 1

\[f(x) = \frac{x}{x-1}\]

Ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((1|1)\) symmetrisch?

1.) \(f(x_0+h) - y_0\) berechnen

\[\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) - {\color{blue}y_0} &= \frac{{\color{red}1+h}}{{\color{red}1+h}-1} - {\color{blue}1}\\
&= \frac{1+h}{h} - \frac{h}{h}\\
&= \frac{1}{h} + \frac{h}{h} - \frac{h}{h}\\
&= \frac{1}{h}
\end{align*}\]

2.) \(- f(x_0-h) + y_0\) berechnen

\[\begin{align*}
- f({\color{red}x_0-h}) + {\color{blue}y_0} &= -\left[\frac{{\color{red}1-h}}{{\color{red}1-h}-1}\right] + {\color{blue}1}\\
&= - \left[\frac{1-h}{-h}\right] + 1\\
&= - \left[-\frac{1-h}{h}\right] + 1\\
&= \frac{1-h}{h} + \frac{h}{h}\\
&= \frac{1}{h} -\frac{h}{h} + \frac{h}{h}\\
&= \frac{1}{h}
\end{align*}\]

3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

\(f(x_0+h) - y_0 = - f(x_0-h) + y_0\)

bzw.

\[\frac{1}{h}=\frac{1}{h}\]

ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((1|1)\) symmetrisch.

Beispiel 2

\(f(x) = x^3 + 3x^2\)

Ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((-1|2)\) symmetrisch?

1.) \(f(x_0+h) - y_0\) berechnen

\(\begin{align*}
f({\color{red}x_0+h}) - {\color{blue}y_0} &= \left[({\color{red}-1+h})^3 + 3({\color{red}-1+h})^2\right] - {\color{blue}2}\\
&= \left[\left(1 - 2h +h^2\right) \cdot \left(-1+h\right) + 3\left(1-2h+h^2\right)\right] - 2\\
&= \left[-1 + 2h - h^2 + h - 2h^2 + h^3 + 3 -6h + 3h^2\right] - 2\\
&= \left[h^3 - 3h + 2\right] - 2\\
&= h^3 - 3h\end{align*}\)

2.) \(- f(x_0-h) + y_0\) berechnen

\(\begin{align*}
- f({\color{red}x_0-h}) + {\color{blue}y_0} &= -\left[({\color{red}-1-h})^3 + 3({\color{red}-1-h})^2\right] + {\color{blue}2}\\
&= -\left[\left(1+2h+h^2\right) \cdot \left(-1-h\right) + 3(1+2h+h^2)\right] + 2\\
&= -\left[-1 -2h -h^2 -h -2h^2 -h^3 + 3 + 6h + 3h^2 \right] + 2\\
&= -\left[-h^3 +3h + 2\right] + 2\\
&= h^3 - 3h
\end{align*}\)

3.) Ergebnisse aus Schritt 1 und Schritt 2 vergleichen

Wegen

\(f(x_0+h) - y_0 = - f(x_0-h) + y_0\)

bzw.

\(h^3 - 3h = h^3 - 3h\)

ist die Funktion \(f(x)\) zum Punkt \((-1|2)\) symmetrisch.

Punktsymmetrie - Graphisches Beispiel

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x)=x^3+3x^2\) eingezeichnet (vgl. Beispiel 2).

Der Punkt S (-1|2), zu dem der Graph der Funktion punktsymmetrisch ist, wurde farblich hervorgehoben.

Mehr zum Symmetrieverhalten

Wenn du mehr zum Symmetrieverhalten erfahren möchtest, lies dir folgende Kapitel durch:

  Bedingung
Achsensymmetrie zur y-Achse \(f(-x) = f(x)\)
Punktsymmetrie zum Ursprung \(f(-x) = -f(x)\)
Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse \(f(x_0+h) = f(x_0-h)\)
Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt \(f(x_0+h)-y_0 = -f(x_0-h)+y_0\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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