Spiegelung von Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns die Spiegelung von Funktionen an.

Kontext

Die Spiegelung gehört neben der Verschiebung und der Skalierung zu den drei einfachsten Möglichkeiten, den Graphen einer Funktion zu transformieren. Der Begriff „Transformation“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „Umwandlung“ (hier: Veränderung des Graphen).

Transformation von Funktionen

  • Verschiebung
  • Skalierung (Größenänderung)
  • Spiegelung

Eine Veränderung des Funktionsgraphen (geometrische Transformation) erreichen wir durch eine Veränderung des Funktionsterms (algebraische Transformation) - und andersherum.

Problemstellung

Im Folgenden untersuchen wir, wie sich der Funktionsterm einer Funktion ändert, wenn wir ihren Graphen an der \(y\)-Achse oder an der \(x\)-Achse spiegeln.

1. Spiegelung von Funktionen an der \(y\)-Achse

Gegeben sei der Graph der Funktion \(f(x) = (x+2)^2\). Es handelt sich dabei um eine Normalparabel, die um \(2~\mathrm{LE}\) nach links verschoben ist (vgl. Verschiebung von Funktionen).

Wir berechnen einige Funktionswerte...

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -3 & -2 & -1 & \hphantom{-}0 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

...und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.

Wir spiegeln den Graphen an der \(y\)-Achse.

Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}3 & \hphantom{-}4 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

Die Preisfrage ist: „Wie lautet die Funktionsgleichung der gespiegelten Funktion \(g\)?“

Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von \(f\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{blue}-4} & -3 & -2 & -1 & \hphantom{-}0 \\ \hline
f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

mit der von \(g\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}3 & \hphantom{-}{\color{red}4} \\ \hline
g(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}{\color{green}4}
\end{array}\)

und stellen fest:

\(\underbrace{g({\color{red}4})}_{{\color{green}4}} = \underbrace{f({\color{blue}-4})}_{{\color{green}4}}\)
\(g(3) = f(-3)\)
\(g(2) = f(-2)\)
\(g(1) = f(-1)\)

Allgemein gilt:

Spiegelung an der \(y\)-Achse (\(\leftrightarrow\))

\begin{equation*}
g(x) = f(-x)
\end{equation*}

Das heißt übersetzt:
„Der Funktionswert von \(g\) an der Stelle \(x\) entspricht dem von \(f\) an der Stelle \(-x\).“
Oder: „Das, was die Funktion \(g\) für \(x\) ausgibt, gibt die Funktion \(f\) für \(-x\) aus.“

\(f(-x)\) erhalten wir, wenn wir das \(x\) in \(f(x) = (x+2)^2\) durch \(-x\) ersetzen:

\(\begin{align*}
g(x)
&= f(-x)\\[5px]
&= (-x+2)^2\\[5px]
&= [(-1)(x-2)]^2\\[5px]
&= (-1)^2(x-2)^2\\[5px]
&= (x-2)^2
\end{align*}\)

2. Spiegelung von Funktionen an der \(x\)-Achse

Gegeben sei der Graph der Funktion \(f(x) = (x+2)^2\). Es handelt sich dabei um eine Normalparabel, die um \(2~\mathrm{LE}\) nach links verschoben ist (vgl. Verschiebung von Funktionen).

Wir berechnen einige Funktionswerte...

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -3 & -2 & -1 & \hphantom{-}0 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

...und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.

Wir spiegeln den Graphen an der \(x\)-Achse.

Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 \\ \hline g(x) & -4 & -1 & \hphantom{-}0 & -1 & -4 \end{array}\)

Die Preisfrage ist: „Wie lautet die Funktionsgleichung der gespiegelten Funktion \(g\)?“

Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von \(f\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{blue}-4} & -3 & -2 & -1 & \hphantom{-}0 \\ \hline
f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

mit der von \(g\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{red}-4} & -3 & -2 & -1 & \hphantom{-}0 \\ \hline
g(x) & -{\color{green}4} & -1 & \hphantom{-}0 & -1 & -4
\end{array}\)

und stellen fest:

\(\underbrace{g({\color{red}-4})}_{{\color{green}4}} = -\underbrace{f({\color{blue}-4})}_{{\color{green}4}}\)
\(g(-3) = -f(-3)\)
\(g(-2) = -f(-2)\)
\(g(-1) = -f(-1)\)

Allgemein gilt:

Spiegelung an der \(x\)-Achse (\(\updownarrow\))

\begin{equation*}
g(x) = -f(x)
\end{equation*}

Wegen \(f(x) = (x+2)^2\) gilt:

\(g(x) = -(x+2)^2\)

3. Spiegelung von Funktionen am Ursprung

Die Nacheinanderausführung einer Spiegelung an der \(x\)-Achse und einer Spiegelung an der \(y\)-Achse führt im Ergebnis zu einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung \(O(0|0)\):

Punktspiegelung am Koordinatenursprung \(O(0|0)\)

\(g(x) = -f(-x)\)

\(f(x) = (x+2)^2\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -3 & -2 & -1 & \hphantom{-}0 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

\(g(x) = -(-x+2)^2 = -(x-2)^2\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}3 & \hphantom{-}4 \\ \hline g(x) & -4 & -1 & \hphantom{-}0 & -1 & -4 \end{array}\)

Überblick: Transformation von Funktionen

Verschiebung von Funktionen
Addition einer Konstanten
(\(c \in \mathbb{R}\))
...in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung (\(\leftrightarrow\)) \(f({\color{#E8960C}x} + c)\)  
...in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(\updownarrow\)) \({\color{#E85A0C}f(x)} + c\)  
Skalierung von Funktionen
Multiplikation einer Konstanten
(\(c > 0\))
...in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung (\(\leftrightarrow\)) \(f(c \cdot {\color{#E8960C}x})\)  
...in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(\updownarrow\)) \(c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)}\)  
Spiegelung von Funktionen
Multiplikation mit \(-1\)
(\(c = -1\))
...an der \(y\)-Achse (\(\leftrightarrow\)) \(f(-x)\)  
...an der \(x\)-Achse (\(\updownarrow\)) \(-f(x)\)  
...am Koordinatenursprung \(O(0|0)\) \(-f(-x)\)  

Merkhilfe:
Veränderung des Arguments \(x\) \(\Leftrightarrow\) Veränderung des Graphen in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung
Veränderung des Funktionswerts \(f(x)\) \(\Leftrightarrow\) Veränderung des Graphen in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(y = f(x)\))

Mehrfach transformierte Funktionen

Transformationen lassen sich beliebig zusammensetzen. So entspricht zum Beispiel eine Multiplikation mit \(-2\) wegen \(-2 = -1 \cdot 2\) einer Spiegelung mit anschließender Skalierung. Allgemein gilt: \(g \colon x \mapsto a \cdot f(b(x + c)) + d\) mit \(a, b, c ,d \in \mathbb{R}\).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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