Verschiebung von Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns die Verschiebung von Funktionen an.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Transformation von Funktionen
Einordnung
Die Verschiebung gehört neben der Skalierung und der Spiegelung zu den drei einfachsten Möglichkeiten, den Graphen einer Funktion zu transformieren. Der Begriff Transformation
kommt aus dem Lateinischen und bedeutet Umwandlung
(hier: Veränderung des Graphen).
Transformation von Funktionen
- Verschiebung
- Skalierung (Größenänderung)
- Spiegelung
Eine Veränderung des Funktionsgraphen (Geometrische Transformation) erreichen wir durch eine Veränderung des Funktionsterms (Algebraische Transformation) – und andersherum.
Richtungen
Was es bedeutet, einen Gegenstand zu verschieben, weiß jedes Kind. Was verstehen Mathematiker aber unter einer Verschiebung in
oder $x$-RichtungVerschiebung in
?$y$-Richtung
Verschiebung in $\boldsymbol{x}$-Richtung
Verschiebe den Knopf in der Abbildung und beobachte, wie sich das Rechteck bewegt.
Du wirst feststellen, dass Verschiebung in
der Oberbegriff für eine Verschiebung nach rechts oder links ist.$x$-Richtung
Verschiebung in $\boldsymbol{y}$-Richtung
Verschiebe den Knopf in der Abbildung und beobachte, wie sich das Rechteck bewegt.
Du wirst feststellen, dass Verschiebung in
der Oberbegriff für eine Verschiebung nach oben oder unten ist.$y$-Richtung
Im Folgenden untersuchen wir, wie sich der Funktionsterm einer Funktion ändert, wenn wir ihren Graphen in $x$-Richtung (nach rechts/links) oder in $y$-Richtung (nach oben/unten) verschieben.
Verschiebung von Funktionen in x-Richtung
Verschiebung nach rechts
Gegeben sei der Graph der Funktion $f(x) = x^2$, die sog. Normalparabel.
Wir berechnen einige Funktionswerte…
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
…und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.
Anschließend verschieben wir den Graphen, um $2\ \textrm{LE}$ (Längeneinheiten) nach rechts.
Nach rechts
meint in positiver $x$-Richtung.
Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}3 & \hphantom{-}4 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
Die Preisfrage ist: Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion
$g$?
Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von $f$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
mit der von $g$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & \hphantom{-}{\color{red}0} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}3 & \hphantom{-}4 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
und stellen fest:
$$ \underbrace{g({\color{red}0})}_{{\color{green}4}} = \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}} $$
$$ g(1) = f(-1) $$
$$ g(2) = f(0) $$
$$ g(3) = f(1) $$
$$ g(4) = f(2) $$
Allgemein gilt:
$$ g(x) = f(x-2) $$
Das heißt übersetzt:Der Funktionswert von
Oder: $g$ an der Stelle $x$ entspricht dem von $f$ an der Stelle $x - 2$.Das, was die Funktion
$g$ für $x$ ausgibt, gibt die Funktion $f$ für $x - 2$ aus.
$f(x-2)$ erhalten wir, wenn wir das $x$ in $f(x) = x^2$ durch $x-2$ ersetzen:
$$ g(x) = f(x-2) = (x-2)^2 $$
Verschiebung nach links
Gegeben sei der Graph der Funktion $f(x) = x^2$, die sog. Normalparabel.
Wir berechnen einige Funktionswerte…
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
…und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.
Anschließend verschieben wir den Graphen, um $2\ \textrm{LE}$ (Längeneinheiten) nach links.
Nach links
meint in negativer $x$-Richtung.
Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -3 & -2 & -1 & \hphantom{-}0 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
Die Preisfrage ist: Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion
$g$?
Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von $f$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
mit der von $g$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{red}-4} & -3 & -2 & -1 & \hphantom{-}0 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
und stellen fest:
$$ \underbrace{g({\color{red}-4})}_{{\color{green}4}} = \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}} $$
$$ g(-3) = f(-1) $$
$$ g(-2) = f(0) $$
$$ g(-1) = f(1) $$
$$ g(0) = f(2) $$
Allgemein gilt:
$$ g(x) = f(x+2) $$
Das heißt übersetzt:Der Funktionswert von
Oder: $g$ an der Stelle $x$ entspricht dem von $f$ an der Stelle $x + 2$.Das, was die Funktion
$g$ für $x$ ausgibt, gibt die Funktion $f$ für $x + 2$ aus.
$f(x+2)$ erhalten wir, wenn wir das $x$ in $f(x) = x^2$ durch $x+2$ ersetzen:
$$ g(x) = f(x+2) = (x+2)^2 $$
Zusammenfassung
Verschiebung in ${\color{#E8960C}\boldsymbol{x}}$-Richtung ($\boldsymbol{\leftrightarrow}$)
$$ \begin{equation*} f({\color{#E8960C}x} + c) = \begin{cases} \text{ Verschiebung nach rechts} &\text{für } c < 0 \\[5px] \text{ Verschiebung nach links} &\text{für } c > 0 \end{cases} \end{equation*} $$
Interaktive Graphik
Verschiebe den Knopf und beobachte, welchen Einfluss eine Verschiebung des Graphen in $x$-Richtung auf den Funktionsterm hat.
Verschiebung von Funktionen in y-Richtung
Verschiebung nach oben
Gegeben sei der Graph der Funktion $f(x) = x^2$, die sog. Normalparabel.
Wir berechnen einige Funktionswerte…
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
…und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.
Anschließend verschieben wir den Graphen, um $1\ \textrm{LE}$ (Längeneinheit) nach oben.
Nach oben
meint in positiver $y$-Richtung.
Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}5 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}5 \end{array} $$
Die Preisfrage ist: Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion
$g$?
Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von $f$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
mit der von $g$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{red}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}{\color{green}5} & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}5 \end{array} $$
und stellen fest:
$$ \underbrace{g({\color{red}-2})}_{{\color{green}5}} = \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}} + 1 $$
$$ g(-1) = f(-1) + 1 $$
$$ g(0) = f(0) + 1 $$
$$ g(1) = f(1) + 1 $$
$$ g(2) = f(2) + 1 $$
Allgemein gilt:
$$ g(x) = f(x) + 1 $$
Wegen $f(x) = x^2$ gilt:
$$ g(x) = x^2 + 1 $$
Verschiebung nach unten
Gegeben sei der Graph der Funktion $f(x) = x^2$, die sog. Normalparabel.
Wir berechnen einige Funktionswerte…
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
…und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.
Anschließend verschieben wir den Graphen, um $1\ \textrm{LE}$ (Längeneinheit) nach unten.
Nach unten
meint in negativer $y$-Richtung.
Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}3 & \hphantom{-}0 & -1 & 0 & \hphantom{-}3 \end{array} $$
Die Preisfrage ist: Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion
$g$?
Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von $f$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
mit der von $g$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{red}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}{\color{green}3} & \hphantom{-}0 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}3 \end{array} $$
und stellen fest:
$$ \underbrace{g({\color{red}-2})}_{{\color{green}3}} = \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}} - 1 $$
$$ g(-1) = f(-1) - 1 $$
$$ g(0) = f(0) - 1 $$
$$ g(1) = f(1) - 1 $$
$$ g(2) = f(2) - 1 $$
Allgemein gilt:
$$ g(x) = f(x) - 1 $$
Wegen $f(x) = x^2$ gilt:
$$ g(x) = x^2 - 1 $$
Zusammenfassung
Verschiebung in ${\color{#E85A0C}\boldsymbol{y}}$-Richtung ($\boldsymbol{\updownarrow}$)
$$ \begin{equation*} {\color{#E85A0C}f(x)} + c = \begin{cases} \text{ Verschiebung nach oben} &\text{für } c > 0 \\[5px] \text{ Verschiebung nach unten} &\text{für } c < 0 \end{cases} \end{equation*} $$
