Verschiebung von Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns die Verschiebung von Funktionen an.

Kontext

Die Verschiebung gehört neben der Skalierung und der Spiegelung zu den drei einfachsten Möglichkeiten, den Graphen einer Funktion zu transformieren. Der Begriff „Transformation“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „Umwandlung“ (hier: Veränderung des Graphen).

Transformation von Funktionen

  • Verschiebung
  • Skalierung (Größenänderung)
  • Spiegelung

Eine Veränderung des Funktionsgraphen (geometrische Transformation) erreichen wir durch eine Veränderung des Funktionsterms (algebraische Transformation) - und andersherum.

Einleitung

Was es bedeutet, einen Gegenstand zu verschieben, weiß jedes Kind. Was verstehen Mathematiker aber unter einer „Verschiebung in \(x\)-Richtung“ oder „Verschiebung in \(y\)-Richtung“?

>>> Verschiebung in \(x\)-Richtung <<<

Verschiebe den Knopf in der Abbildung und beobachte, wie sich das Rechteck bewegt.

Du wirst feststellen, dass „Verschiebung in \(x\)-Richtung“ der Oberbegriff für eine Verschiebung nach rechts oder links ist.

>>> Verschiebung in \(y\)-Richtung <<<

Verschiebe den Knopf in der Abbildung und beobachte, wie sich das Rechteck bewegt.

Du wirst feststellen, dass „Verschiebung in \(y\)-Richtung“ der Oberbegriff für eine Verschiebung nach oben oder unten ist.

Problemstellung

Im Folgenden untersuchen wir, wie sich der Funktionsterm einer Funktion ändert, wenn wir ihren Graphen in \(x\)-Richtung (nach rechts/links) oder in \(y\)-Richtung (nach oben/unten) verschieben.

1. Verschiebung von Funktionen in \(x\)-Richtung

1.1 Verschiebung nach rechts

Gegeben sei der Graph der Funktion \(f(x) = x^2\), die sog. Normalparabel.

Wir berechnen einige Funktionswerte...

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

...und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.

Anschließend verschieben wir den Graphen, um \(2~\mathrm{LE}\) (Längeneinheiten) nach rechts.
(„nach rechts“ = in positiver \(x\)-Richtung)

Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1& \hphantom{-}2 & \hphantom{-}3 & \hphantom{-}4 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

Die Preisfrage ist: „Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion \(g\)?“

Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von \(f\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline
f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

mit der von \(g\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & \hphantom{-}{\color{red}0} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}3 & \hphantom{-}4 \\ \hline
g(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

und stellen fest:

\(\underbrace{g({\color{red}0})}_{{\color{green}4}} = \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}}\)
\(g(1) = f(-1)\)
\(g(2) = f(0)\)
\(g(3) = f(1)\)
\(g(4) = f(2)\)

Allgemein gilt:

\(g(x) = f(x-2)\)

Das heißt übersetzt:
„Der Funktionswert von \(g\) an der Stelle \(x\) entspricht dem von \(f\) an der Stelle \(x - 2\).“
Oder: „Das, was die Funktion \(g\) für \(x\) ausgibt, gibt die Funktion \(f\) für \(x - 2\) aus.“

\(f(x-2)\) erhalten wir, wenn wir das \(x\) in \(f(x) = x^2\) durch \(x-2\) ersetzen:

\(g(x) = f(x-2) = (x-2)^2\)

1.2 Verschiebung nach links

Gegeben sei der Graph der Funktion \(f(x) = x^2\), die sog. Normalparabel.

Wir berechnen einige Funktionswerte...

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

...und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.

Anschließend verschieben wir den Graphen, um \(2~\mathrm{LE}\) (Längeneinheiten) nach links.
(„nach links“ = in negativer \(x\)-Richtung)

Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -3 & -2 & -1 & \hphantom{-}0 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

Die Preisfrage ist: „Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion \(g\)?“

Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von \(f\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline
f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

mit der von \(g\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{red}-4} & -3 & -2 & -1 & \hphantom{-}0 \\ \hline
g(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

und stellen fest:

\(\underbrace{g({\color{red}-4})}_{{\color{green}4}} = \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}}\)
\(g(-3) = f(-1)\)
\(g(-2) = f(0)\)
\(g(-1) = f(1)\)
\(g(0) = f(2)\)

Allgemein gilt:

\(g(x) = f(x+2)\)

Das heißt übersetzt:
„Der Funktionswert von \(g\) an der Stelle \(x\) entspricht dem von \(f\) an der Stelle \(x + 2\).“
Oder: „Das, was die Funktion \(g\) für \(x\) ausgibt, gibt die Funktion \(f\) für \(x + 2\) aus.“

\(f(x+2)\) erhalten wir, wenn wir das \(x\) in \(f(x) = x^2\) durch \(x+2\) ersetzen:

\(g(x) = f(x+2) = (x+2)^2\)

Verschiebung in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung (\(\leftrightarrow\))

\begin{equation*}
f({\color{#E8960C}x} + c) =
\begin{cases}
\text{Verschiebung nach rechts} &\text{für } c < 0\\
\text{Verschiebung nach links} &\text{für } c > 0
\end{cases}
\end{equation*}

>>> Interaktive Graphik <<<

Verschiebe den Knopf und beobachte, welchen Einfluss eine Verschiebung des Graphen in \(x\)-Richtung auf den Funktionsterm hat.

2. Verschiebung von Funktionen in \(y\)-Richtung

2.1 Verschiebung nach oben

Gegeben sei der Graph der Funktion \(f(x) = x^2\), die sog. Normalparabel.

Wir berechnen einige Funktionswerte...

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

...und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.

Anschließend verschieben wir den Graphen, um \(1~\mathrm{LE}\) (Längeneinheit) nach oben.
(„nach oben“ = in positiver \(y\)-Richtung)

Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}5 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}5 \end{array}\)

Die Preisfrage ist: „Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion \(g\)?“

Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von \(f\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline
f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

mit der von \(g\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{red}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline
g(x) & \hphantom{-}{\color{green}5} & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}5
\end{array}\)

und stellen fest:

\(\underbrace{g({\color{red}-2})}_{{\color{green}5}} = \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}} + 1\)
\(g(-1) = f(-1) + 1\)
\(g(0) = f(0) + 1\)
\(g(1) = f(1) + 1\)
\(g(2) = f(2) + 1\)

Allgemein gilt:

\(g(x) = f(x) + 1\)

Wegen \(f(x) = x^2\) gilt:

\(g(x) = x^2 + 1\)

2.2 Verschiebung nach unten

Gegeben sei der Graph der Funktion \(f(x) = x^2\), die sog. Normalparabel.

Wir berechnen einige Funktionswerte...

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

...und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.

Anschließend verschieben wir den Graphen, um \(1~\mathrm{LE}\) (Längeneinheit) nach unten.
(„nach unten“ = in negativer \(y\)-Richtung)

Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}3 & \hphantom{-}0 & -1 & 0 & \hphantom{-}3 \end{array}\)

Die Preisfrage ist: „Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen Funktion \(g\)?“

Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von \(f\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline
f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

mit der von \(g\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{red}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline
g(x) & \hphantom{-}{\color{green}3} & \hphantom{-}0 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}3
\end{array}\)

und stellen fest:

\(\underbrace{g({\color{red}-2})}_{{\color{green}3}} = \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}} - 1\)
\(g(-1) = f(-1) - 1\)
\(g(0) = f(0) - 1\)
\(g(1) = f(1) - 1\)
\(g(2) = f(2) - 1\)

Allgemein gilt:

\(g(x) = f(x) - 1\)

Wegen \(f(x) = x^2\) gilt:

\(g(x) = x^2 - 1\)

Verschiebung in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(\updownarrow\))

\begin{equation*}
{\color{#E85A0C}f(x)} + c =
\begin{cases}
\text{Verschiebung nach oben} &\text{für } c > 0\\
\text{Verschiebung nach unten} &\text{für } c < 0
\end{cases}
\end{equation*}

>>> Interaktive Graphik <<<

Verschiebe den Knopf und beobachte, welchen Einfluss eine Verschiebung des Graphen in \(y\)-Richtung auf den Funktionsterm hat.

Überblick: Transformation von Funktionen

Verschiebung von Funktionen
Addition einer Konstanten
(\(c \in \mathbb{R}\))
...in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung (\(\leftrightarrow\)) \(f({\color{#E8960C}x} + c)\)  
...in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(\updownarrow\)) \({\color{#E85A0C}f(x)} + c\)  
Skalierung von Funktionen
Multiplikation einer Konstanten
(\(c > 0\))
...in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung (\(\leftrightarrow\)) \(f(c \cdot {\color{#E8960C}x})\)  
...in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(\updownarrow\)) \(c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)}\)  
Spiegelung von Funktionen
Multiplikation mit \(-1\)
(\(c = -1\))
...an der \(y\)-Achse (\(\leftrightarrow\)) \(f(-x)\)  
...an der \(x\)-Achse (\(\updownarrow\)) \(-f(x)\)  
...am Koordinatenursprung \(O(0|0)\) \(-f(-x)\)  

Merkhilfe:
Veränderung des Arguments \(x\) \(\Leftrightarrow\) Veränderung des Graphen in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung
Veränderung des Funktionswerts \(f(x)\) \(\Leftrightarrow\) Veränderung des Graphen in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(y = f(x)\))

Mehrfach transformierte Funktionen

Transformationen lassen sich beliebig zusammensetzen. So entspricht zum Beispiel eine Multiplikation mit \(-2\) wegen \(-2 = -1 \cdot 2\) einer Spiegelung mit anschließender Skalierung. Allgemein gilt: \(g \colon x \mapsto a \cdot f(b(x + c)) + d\) mit \(a, b, c ,d \in \mathbb{R}\).

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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