Skalierung von Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns die Skalierung von Funktionen an.

Kontext

Die Skalierung gehört neben der Verschiebung und der Spiegelung zu den drei einfachsten Möglichkeiten, den Graphen einer Funktion zu transformieren. Der Begriff „Transformation“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „Umwandlung“ (hier: Veränderung des Graphen).

Transformation von Funktionen

  • Verschiebung
  • Skalierung (Größenänderung)
  • Spiegelung

Eine Veränderung des Funktionsgraphen (geometrische Transformation) erreichen wir durch eine Veränderung des Funktionsterms (algebraische Transformation) - und andersherum.

Einleitung

Mit jeder handelsüblichen Fotokamera kannst du Objekte vergrößern (hineinzoomen) oder verkleinern (herauszoomen). Welchen Einfluss das Zoomen auf das Bild hat, kannst du dir klarmachen, wenn du in nebenstehender Abbildung den Knopf verschiebst.

Mathematiker betrachten den Zoom-Vorgang genauer: Die Größenveränderung eines Objekts bezeichnen sie als Skalierung und unterscheiden zwischen einer „Skalierung in \(x\)-Richtung“ und einer „Skalierung in \(y\)-Richtung.“ Die folgenden interaktiven Abbildungen zeigen, was gemeint ist.

>>> Skalierung in \(x\)-Richtung <<<

Verschiebe den Knopf in der Abbildung und beobachte, wie sich das Rechteck verändert: Das Rechteck wird von rechts und links auseinandergezogen (Streckung) oder zusammengedrückt (Stauchung).

Wir merken uns: „Skalierung in \(x\)-Richtung“ ist der Oberbegriff für eine waagrechte (horizontale) Streckung oder Stauchung.

>>> Skalierung in \(y\)-Richtung <<<

Verschiebe den Knopf in der Abbildung und beobachte, wie sich das Rechteck verändert: Das Rechteck wird von oben und unten auseinandergezogen (Streckung) oder zusammengedrückt (Stauchung).

Wir merken uns: „Skalierung in \(y\)-Richtung“ ist der Oberbegriff für eine senkrechte (vertikale) Streckung oder Stauchung.

Problemstellung

Im Folgenden untersuchen wir, wie sich der Funktionsterm einer Funktion ändert, wenn wir ihren Graphen in \(x\)-Richtung oder in \(y\)-Richtung skalieren, d. h. strecken oder stauchen.

1. Skalierung von Funktionen in \(x\)-Richtung

1.1 Streckung in \(x\)-Richtung

Gegeben sei der Graph der Funktion \(f(x) = x^2\), die sog. Normalparabel.

Wir berechnen einige Funktionswerte...

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

...und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.

Nun strecken wir den Graphen in \(x\)-Richtung, d. h. wir ziehen ihn waagrecht auseinander.

Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -2 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}4 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

Die Preisfrage ist: „Wie lautet die Funktionsgleichung der gestreckten Funktion \(g\)?“

Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von \(f\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline
f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

mit der von \(g\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{red}-4} & -2 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}4 \\ \hline
g(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

und stellen fest:

\(\underbrace{g({\color{red}-4})}_{{\color{green}4}} = \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}}\)
\(g(-2) = f(-1)\)
\(g(0) = f(0)\)
\(g(2) = f(1)\)
\(g(4) = f(2)\)

Allgemein gilt:

\(g(x) = f(\frac{1}{2} x)\)

Das heißt übersetzt:
„Der Funktionswert von \(g\) an der Stelle \(x\) entspricht dem von \(f\) an der Stelle \(\frac{1}{2}x\).“
Oder: „Das, was die Funktion \(g\) für \(x\) ausgibt, gibt die Funktion \(f\) für \(\frac{1}{2}x\) aus.“

\(f(\frac{1}{2}x)\) erhalten wir, wenn wir das \(x\) in \(f(x) = x^2\) durch \(\frac{1}{2}x\) ersetzen:

\(g(x) = f(\frac{1}{2}x) = (\frac{1}{2}x)^2 = \frac{1}{4}x^2\)

1.2 Stauchung in \(x\)-Richtung

Gegeben sei der Graph der Funktion \(f(x) = x^2\), die sog. Normalparabel.

Wir berechnen einige Funktionswerte...

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

...und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.

Nun stauchen wir den Graphen in \(x\)-Richtung, d. h. wir drücken ihn waagrecht zusammen.

Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & -0{,}5 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0{,}5 & \hphantom{-}1 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

Die Preisfrage ist: „Wie lautet die Funktionsgleichung der gestauchten Funktion \(g\)?“

Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von \(f\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline
f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

mit der von \(g\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{red}-1} & -0{,}5 & 0 & \hphantom{-}0{,}5 & \hphantom{-}1 \\ \hline
g(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

und stellen fest:

\(\underbrace{g({\color{red}-1})}_{{\color{green}4}} = \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}}\)
\(g(-0{,}5) = f(-1)\)
\(g(0) = f(0)\)
\(g(0{,}5) = f(1)\)
\(g(1) = f(2)\)

Allgemein gilt:

\(g(x) = f(2x)\)

Das heißt übersetzt:
„Der Funktionswert von \(g\) an der Stelle \(x\) entspricht dem von \(f\) an der Stelle \(2x\).“
Oder: „Das, was die Funktion \(g\) für \(x\) ausgibt, gibt die Funktion \(f\) für \(2x\) aus.“

\(f(2x)\) erhalten wir, wenn wir das \(x\) in \(f(x) = x^2\) durch \(2x\) ersetzen:

\(g(x) = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2\)

Skalierung in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung (\(\leftrightarrow\))

\begin{equation*}
f(c \cdot {\color{#E8960C}x}) =
\begin{cases}
\text{Streckung in \(x\)-Richtung} &\text{für } 0 < c < 1\\
\text{Stauchung in \(x\)-Richtung} &\text{für } c > 1
\end{cases}
\end{equation*}

>>> Interaktive Graphik <<<

Verschiebe den Knopf und beobachte, welchen Einfluss eine Skalierung des Graphen in \(x\)-Richtung auf den Funktionsterm hat.

2. Skalierung von Funktionen in \(y\)-Richtung

2.1 Streckung in \(y\)-Richtung

Gegeben sei der Graph der Funktion \(f(x) = x^2\), die sog. Normalparabel.

Wir berechnen einige Funktionswerte...

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

...und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.

Nun strecken wir den Graphen in \(y\)-Richtung, d. h. wir ziehen ihn senkrecht auseinander.

Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}8 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}8 \end{array}\)

Die Preisfrage ist: „Wie lautet die Funktionsgleichung der gestreckten Funktion \(g\)?“

Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von \(f\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline
f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

mit der von \(g\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{red}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline
g(x) & \hphantom{-}{\color{green}8} & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}8
\end{array}\)

und stellen fest:

\(\underbrace{g({\color{red}-2})}_{{\color{green}8}} = 2 \cdot \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}}\)
\(g(-1) = 2 \cdot f(-1)\)
\(g(0) = 2 \cdot f(0)\)
\(g(1) = 2 \cdot f(1)\)
\(g(2) = 2\cdot f(2)\)

Allgemein gilt:

\(g(x) = 2 \cdot f(x)\)

Wegen \(f(x) = x^2\) gilt:

\(g(x) = 2x^2\)

2.2 Stauchung in \(y\)-Richtung

Gegeben sei der Graph der Funktion \(f(x) = x^2\), die sog. Normalparabel.

Wir berechnen einige Funktionswerte...

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array}\)

...und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.

Nun stauchen wir den Graphen in \(y\)-Richtung, d. h. wir drücken ihn senkrecht zusammen.

Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}0{,}5 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0{,}5 & \hphantom{-}2 \end{array}\)

Die Preisfrage ist: „Wie lautet die Funktionsgleichung der gestauchten Funktion \(g\)?“

Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von \(f\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline
f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4
\end{array}\)

mit der von \(g\)

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & {\color{red}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline
g(x) & \hphantom{-}{\color{green}2} & \hphantom{-}0{,}5 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0{,}5 & \hphantom{-}2
\end{array}\)

und stellen fest:

\(\underbrace{g({\color{red}-2})}_{{\color{green}2}} = \frac{1}{2} \cdot \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}}\)
\(g(-1) = \frac{1}{2} \cdot f(-1)\)
\(g(0) = \frac{1}{2} \cdot f(0)\)
\(g(1) = \frac{1}{2} \cdot f(1)\)
\(g(2) = \frac{1}{2} \cdot f(2)\)

Allgemein gilt:

\(g(x) = \frac{1}{2} \cdot f(x)\)

Wegen \(f(x) = x^2\) gilt:

\(g(x) = \frac{1}{2}x^2\)

Skalierung in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(\updownarrow\))

\begin{equation*}
c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)} =
\begin{cases}
\text{Streckung in \(y\)-Richtung} &\text{für } c > 1\\
\text{Stauchung in \(y\)-Richtung} &\text{für } 0 < c < 1
\end{cases}
\end{equation*}

>>> Interaktive Graphik <<<

Verschiebe den Knopf und beobachte, welchen Einfluss eine Skalierung des Graphen in \(y\)-Richtung auf den Funktionsterm hat.

Überblick: Transformation von Funktionen

Verschiebung von Funktionen
Addition einer Konstanten
(\(c \in \mathbb{R}\))
...in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung (\(\leftrightarrow\)) \(f({\color{#E8960C}x} + c)\)  
...in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(\updownarrow\)) \({\color{#E85A0C}f(x)} + c\)  
Skalierung von Funktionen
Multiplikation einer Konstanten
(\(c > 0\))
...in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung (\(\leftrightarrow\)) \(f(c \cdot {\color{#E8960C}x})\)  
...in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(\updownarrow\)) \(c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)}\)  
Spiegelung von Funktionen
Multiplikation mit \(-1\)
(\(c = -1\))
...an der \(y\)-Achse (\(\leftrightarrow\)) \(f(-x)\)  
...an der \(x\)-Achse (\(\updownarrow\)) \(-f(x)\)  
...am Koordinatenursprung \(O(0|0)\) \(-f(-x)\)  

Merkhilfe:
Veränderung des Arguments \(x\) \(\Leftrightarrow\) Veränderung des Graphen in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung
Veränderung des Funktionswerts \(f(x)\) \(\Leftrightarrow\) Veränderung des Graphen in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(y = f(x)\))

Mehrfach transformierte Funktionen

Transformationen lassen sich beliebig zusammensetzen. So entspricht zum Beispiel eine Multiplikation mit \(-2\) wegen \(-2 = -1 \cdot 2\) einer Spiegelung mit anschließender Skalierung. Allgemein gilt: \(g \colon x \mapsto a \cdot f(b(x + c)) + d\) mit \(a, b, c ,d \in \mathbb{R}\).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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