Skalierung von Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns die Skalierung von Funktionen an.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Transformation von Funktionen
Einordnung
Die Skalierung gehört neben der Verschiebung und der Spiegelung zu den drei einfachsten Möglichkeiten, den Graphen einer Funktion zu transformieren. Der Begriff Transformation
kommt aus dem Lateinischen und bedeutet Umwandlung
(hier: Veränderung des Graphen).
Transformation von Funktionen
- Verschiebung
- Skalierung (Größenänderung)
- Spiegelung
Eine Veränderung des Funktionsgraphen (Geometrische Transformation) erreichen wir durch eine Veränderung des Funktionsterms (Algebraische Transformation) – und andersherum.
Richtungen
Mit jeder handelsüblichen Fotokamera kannst du Objekte vergrößern (hineinzoomen) oder verkleinern (herauszoomen).
Welchen Einfluss das Zoomen auf das Bild hat, kannst du dir klarmachen, wenn du in Abbildung den Knopf verschiebst.
Mathematiker betrachten den Zoom-Vorgang genauer: Die Größenveränderung eines Objekts bezeichnen sie als Skalierung und unterscheiden zwischen einer Skalierung in
und einer $x$-RichtungSkalierung in
Die folgenden interaktiven Abbildungen zeigen, was gemeint ist.$y$-Richtung.
Skalierung in $\boldsymbol{x}$-Richtung
Verschiebe den Knopf in der Abbildung und beobachte, wie sich das Rechteck verändert: Das Rechteck wird von rechts und links auseinandergezogen (Streckung) oder zusammengedrückt (Stauchung).
Wir merken uns: Skalierung in
ist der Oberbegriff für eine waagrechte (horizontale) Streckung oder Stauchung.$x$-Richtung
Skalierung in $\boldsymbol{y}$-Richtung
Verschiebe den Knopf in der Abbildung und beobachte, wie sich das Rechteck verändert: Das Rechteck wird von oben und unten auseinandergezogen (Streckung) oder zusammengedrückt (Stauchung).
Wir merken uns: Skalierung in
ist der Oberbegriff für eine senkrechte (vertikale) Streckung oder Stauchung.$y$-Richtung
Im Folgenden untersuchen wir, wie sich der Funktionsterm einer Funktion ändert, wenn wir ihren Graphen in $x$-Richtung oder in $y$-Richtung skalieren, d. h. strecken oder stauchen.
Skalierung von Funktionen in x-Richtung
Streckung in x-Richtung
Gegeben sei der Graph der Funktion $f(x) = x^2$, die sog. Normalparabel.
Wir berechnen einige Funktionswerte…
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
…und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.
Nun strecken wir den Graphen in $x$-Richtung, d. h. wir ziehen ihn waagrecht auseinander.
Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -2 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}4 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
Die Preisfrage ist: Wie lautet die Funktionsgleichung der gestreckten Funktion
$g$?
Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von $f$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
mit der von $g$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{red}-4} & -2 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}4 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
und stellen fest:
$$ \underbrace{g({\color{red}-4})}_{{\color{green}4}} = \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}} $$
$$ g(-2) = f(-1) $$
$$ g(0) = f(0) $$
$$ g(2) = f(1) $$
$$ g(4) = f(2) $$
Allgemein gilt:
$$ g(x) = f\left(\frac{1}{2} x\right) $$
Das heißt übersetzt:Der Funktionswert von
Oder: $g$ an der Stelle $x$ entspricht dem von $f$ an der Stelle $\frac{1}{2}x$.Das, was die Funktion
$g$ für $x$ ausgibt, gibt die Funktion $f$ für $\frac{1}{2}x$ aus.
$f(\frac{1}{2}x)$ erhalten wir, wenn wir das $x$ in $f(x) = x^2$ durch $\frac{1}{2}x$ ersetzen:
$$ g(x) = f\left(\frac{1}{2}x\right) = \left(\frac{1}{2}x\right)^2 = \frac{1}{4}x^2 $$
Stauchung in x-Richtung
Gegeben sei der Graph der Funktion $f(x) = x^2$, die sog. Normalparabel.
Wir berechnen einige Funktionswerte…
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
…und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.
Nun stauchen wir den Graphen in $x$-Richtung, d. h. wir drücken ihn waagrecht zusammen.
Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & -0{,}5 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0{,}5 & \hphantom{-}1 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
Die Preisfrage ist: Wie lautet die Funktionsgleichung der gestauchten Funktion
$g$?
Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von $f$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
mit der von $g$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{red}-1} & -0{,}5 & 0 & \hphantom{-}0{,}5 & \hphantom{-}1 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
und stellen fest:
$$ \underbrace{g({\color{red}-1})}_{{\color{green}4}} = \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}} $$
$$ g(-0{,}5) = f(-1) $$
$$ g(0) = f(0) $$
$$ g(0{,}5) = f(1) $$
$$ g(1) = f(2) $$
Allgemein gilt:
$$ g(x) = f(2x) $$
Das heißt übersetzt:Der Funktionswert von
Oder: $g$ an der Stelle $x$ entspricht dem von $f$ an der Stelle $2x$.Das, was die Funktion
$g$ für $x$ ausgibt, gibt die Funktion $f$ für $2x$ aus.
$f(2x)$ erhalten wir, wenn wir das $x$ in $f(x) = x^2$ durch $2x$ ersetzen:
$$ g(x) = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2 $$
Zusammenfassung
Skalierung in ${\color{#E8960C}\boldsymbol{x}}$-Richtung ($\boldsymbol{\leftrightarrow}$)
$$ \begin{equation*} f(c \cdot {\color{#E8960C}x}) = \begin{cases} \text{ Streckung in $x$-Richtung} &\text{für } 0 < c < 1 \\[5px] \text{ Stauchung in $x$-Richtung} &\text{für } c > 1 \end{cases} \end{equation*} $$
Interaktive Graphik
Verschiebe den Knopf und beobachte, welchen Einfluss eine Skalierung des Graphen in $x$-Richtung auf den Funktionsterm hat.
Skalierung von Funktionen in y-Richtung
Streckung in y-Richtung
Gegeben sei der Graph der Funktion $f(x) = x^2$, die sog. Normalparabel.
Wir berechnen einige Funktionswerte…
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
…und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.
Nun strecken wir den Graphen in $y$-Richtung, d. h. wir ziehen ihn senkrecht auseinander.
Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}8 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}8 \end{array} $$
Die Preisfrage ist: Wie lautet die Funktionsgleichung der gestreckten Funktion
$g$?
Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von $f$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
mit der von $g$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{red}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}{\color{green}8} & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}8 \end{array} $$
und stellen fest:
$$ \underbrace{g({\color{red}-2})}_{{\color{green}8}} = 2 \cdot \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}} $$
$$ g(-1) = 2 \cdot f(-1) $$
$$ g(0) = 2 \cdot f(0) $$
$$ g(1) = 2 \cdot f(1) $$
$$ g(2) = 2\cdot f(2) $$
Allgemein gilt:
$$ g(x) = 2 \cdot f(x) $$
Wegen $f(x) = x^2$ gilt:
$$ g(x) = 2x^2 $$
Stauchung in y-Richtung
Gegeben sei der Graph der Funktion $f(x) = x^2$, die sog. Normalparabel.
Wir berechnen einige Funktionswerte…
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}4 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
…und zeichnen den Graphen in ein kartesisches Koordinatensystem.
Nun stauchen wir den Graphen in $y$-Richtung, d. h. wir drücken ihn senkrecht zusammen.
Aus der Abbildung lesen wir ab, dass gilt:
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}2 & \hphantom{-}0{,}5 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0{,}5 & \hphantom{-}2 \end{array} $$
Die Preisfrage ist: Wie lautet die Funktionsgleichung der gestauchten Funktion
$g$?
Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Wertetabelle von $f$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{blue}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline f(x) & \hphantom{-}{\color{green}4} & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}4 \end{array} $$
mit der von $g$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & {\color{red}-2} & -1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}2 \\ \hline g(x) & \hphantom{-}{\color{green}2} & \hphantom{-}0{,}5 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0{,}5 & \hphantom{-}2 \end{array} $$
und stellen fest:
$$ \underbrace{g({\color{red}-2})}_{{\color{green}2}} = \frac{1}{2} \cdot \underbrace{f({\color{blue}-2})}_{{\color{green}4}} $$
$$ g(-1) = \frac{1}{2} \cdot f(-1) $$
$$ g(0) = \frac{1}{2} \cdot f(0) $$
$$ g(1) = \frac{1}{2} \cdot f(1) $$
$$ g(2) = \frac{1}{2} \cdot f(2) $$
Allgemein gilt:
$$ g(x) = \frac{1}{2} \cdot f(x) $$
Wegen $f(x) = x^2$ gilt:
$$ g(x) = \frac{1}{2}x^2 $$
Zusammenfassung
Skalierung in ${\color{#E85A0C}\boldsymbol{y}}$-Richtung ($\boldsymbol{\updownarrow}$)
$$ \begin{equation*} c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)} = \begin{cases} \text{ Streckung in $y$-Richtung} &\text{für } c > 1 \\[5px] \text{ Stauchung in $y$-Richtung} &\text{für } 0 < c < 1 \end{cases} \end{equation*} $$
