Schiefe Asymptote
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine schiefe Asymptote ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Eine schiefe Gerade, der sich eine Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert, heißt schiefe Asymptote.
Bedingung
Eine gebrochenrationale Funktion
$$ y = \frac{a_n x^{\fcolorbox{Red}{}{$n$}} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^{\fcolorbox{Red}{}{$m$}} + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0} $$
besitzt eine schiefe Asymptote, wenn
Zählergrad = Nennergrad + 1 ($n = m + 1$)
(Zählergrad um
)$1$ größer als der Nennergrad
Anleitung
Zählergrad und Nennergrad bestimmen
Polynomdivision
Grenzwertbetrachtung
zu 1)
Wir prüfen, ob die Bedingung für eine schiefe Asymptote erfüllt ist.
zu 2)
Die Gleichung der schiefen Asymptote erhalten wir, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen. Dabei handelt es sich um eine Polynomdivision.
zu 3)
Hauptkapitel: Grenzwert und Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion
Beispiel
Überprüfe, ob die gebrochenrationale Funktion
$$ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $$
eine schiefe Asymptote hat und gib diese ggf. an.
Zählergrad und Nennergrad bestimmen
Da der Zählergrad ($2$) um eine Einheit größer ist als der Nennergrad ($1$), besitzt die gebrochenrationale Funktion eine schiefe Asymptote.
Polynomdivision
$$ \begin{array}{l} \quad x^2:(x+1)= {\color{red}x - 1}+ {\color{blue}\frac{1}{x+1}} \\ -(x^2 + x) \\ \qquad \quad -x \\ \qquad -(-x-1) \\ \qquad \qquad \qquad 1 \end{array} $$
Grenzwertbetrachtung
Da der Nennergrad des Bruchs (ganz rechts im Ergebnis der Polynomdivison) größer ist als der Zählergrad, wird dieser Restterm für sehr große $x$-Werte immer kleiner und nähert sich Null an:
$$ \lim_{x\to \pm\infty}\left({\color{blue}\frac{1}{x+1}}\right) = 0 $$
Der Graph der Funktion strebt deshalb gegen die schiefe Asymptote mit der Gleichung
$$ y = {\color{red}x-1} $$
Graphische Darstellung
