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Fläche zwischen zwei Graphen

In den vorhergehenden Kapiteln haben wir gelernt, wie man bestimmte Integrale berechnet, einfache Flächenberechnungen durchführt und bei komplizierten Funktionen die Fläche zwischen Graph und x-Achse ermittelt.

Eine häufige Aufgabenstellung ist es, die Fläche zwischen zwei Graphen zu berechnen.

Im linken Koordinatensystem sind zwei sich schneidende Funktionen eingezeichnet:
\[f(x) = x + 2\] \[g(x) = x^2 + x + 1\]
In diesem Kapitel geht es um die Frage, wie man mit Hilfe der Integralrechnung die Fläche zwischen zwei Graphen (rot umkreist) berechnen kann.

Diese Aufgabenstellung macht natürlich nur Sinn, wenn sich die Graphen wie in obigem Beispiel schneiden.

Flächenberechnung - Schritt für Schritt

Die Formel zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen lautet

\[\left|\int_{s_1}^{s_2} \! \left[f(x)-g(x)\right] \, \mathrm{d}x\right|\]

Dabei sind \(s_1\) und \(s_2\) die Schnittpunkte der beiden Graphen.

Vorgehensweise

  1. Schnittpunkte berechnen
  2. \(f(x) - g(x)\) berechnen
  3. Integrieren

Beispiel

Berechne die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen

\(f(x) = x + 2\)

\(g(x) = x^2 + x + 1\)

1.) Schnittpunkte berechnen

Die Schnittpunkte zweier Graphen berechnet man, indem man die Funktionen gleichsetzt.

\(f(x) = g(x)\)

\(x + 2 = x^2 + x + 1 \qquad | -(x+2)\)

\(x^2 - 1 = 0\)

\(x^2 = 1\)

\(x = \pm \sqrt{1}\)

Die beiden Schnittpunkte sind dementsprechend \(s_1 = -1\) und \(s_2 = +1\).

2.) \(f(x) - g(x)\) berechnen

\(f(x) - g(x) = x + 2 - (x^2 + x + 1) = -x^2 + 1\)

3.) Integrieren

\[\begin{align*}\left|\int_{s_1}^{s_2} \! \left[f(x)-g(x)\right] \, \mathrm{d}x\right| &= \left|\int_{-1}^{1} \! \left(-x^2+1\right) \, \mathrm{d}x\right|\\
&= \left|\left[-\frac{1}{3}x^3 + x\right]_{-1}^{1}\right|\\
&= \left|\left(-\frac{1}{3}1^3 + 1\right) - \left(-\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)\right)\right|\\
&= \left|\frac{2}{3} + \frac{2}{3} \right|\\
&= \frac{4}{3}\end{align*}\]

Hinweis: Die Betragsstriche wären in diesem Fall nicht nötig gewesen. Im Zusammenhang mit Flächenberechnungen ist es aber immer besser alles in Betragsstriche zu schreiben, um unnötige Vorzeichenfehler zu vermeiden. Vergiss nicht, dass eine Fläche nie negativ sein kann!

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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