Flächenberechnung mit Integralen

In diesem Artikel besprechen wir, wie man Flächen mit Hilfe von Integralen berechnet.

Im vorherigen Kapitel haben wir uns mit bestimmten Integralen beschäftigt. Dabei haben wir folgende Beispiele etwas genauer angeguckt:

Beispiel 1

\[\int_{\color{blue}1}^{\color{red}3} \! 2x \, \mathrm{d}x = \left[x^2\right]_{\color{blue}1}^{\color{red}3} = {\color{red}3}^2 - {\color{blue}1}^2 = 8\]

Beispiel 2

\[\int_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} \! x^2 \, \mathrm{d}x = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} = \frac{1}{3} \cdot {\color{red}0}^3 - \frac{1}{3}({\color{blue}-3})^3 = 9\]

Wie man Integrale berechnet, wissen wir bereits. Was bedeutet aber das Ergebnis - also die Zahl, die man am Ende erhält? Im ersten Beispiel kommt 8 und im zweiten Beispiel 9 heraus. Um es auf den Punkt zu bringen: Wir haben Flächen berechnet!

Dabei handelt es sich um die Fläche, die der Graph der jeweiligen Funktion (im ersten Beispiel: \(f(x) = 2x\); im zweiten Beispiel: \(f(x) = x^2\)) mit der x-Achse in dem jeweiligen Intervall (im ersten Beispiel: \([1;3]\); im zweiten Beispiel: \([-3;0]\)) einschließt. Das hört sich im ersten Moment vielleicht sehr kompliziert an, ist es aber nicht.

Flächenberechnung - Beispiel 1

\[\int_1^3 \! 2x \, \mathrm{d}x = \left[x^2\right]_1^3 = 3^2 - 1^2 ={\color{red}8}\]

In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x) = 2x\) eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei 1, die obere Integrationsgrenze bei 3.

Das bestimmte Integral
\[\int_1^3 \! 2x \, \mathrm{d}x ={\color{red}8}\] entspricht der Fläche zwischen Graph und x-Achse im Intervall \([1;3]\).

Flächenberechnung - Beispiel 2

\[\int_{-2}^0 \! x^2 \, \mathrm{d}x = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-2}^0 = \frac{1}{3}0^3 - \frac{1}{3}(-2)^3 ={\color{red}\frac{8}{3}}\]

In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x) = x^2\) eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei -2, die obere Integrationsgrenze bei 0.

Das bestimmte Integral
\[\int_{-2}^0 \! x^2 \, \mathrm{d}x ={\color{red}\frac{8}{3}}\] entspricht der Fläche zwischen Graph und x-Achse im Intervall \([-2;0]\).

Ausnahme: Funktion mit Vorzeichenwechsel

Leider ist es nicht immer so einfach, die Fläche zwischen Graph und x-Achse mit Hilfe von Integralen zu berechnen. Das Integral ist nämlich nur eine Flächenbilanz, d.h. die Flächen "heben sich auf", wenn ein Teil des Graphen (im betrachteten Intervall) oberhalb und der andere Teil unterhalb der x-Achse liegt.

Beispiel - Funktion mit Vorzeichenwechsel

\[\int_{-1{,}5}^{1{,}5} \! x^3 \, \mathrm{d}x = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_{-1{,}5}^{1{,}5} = \frac{1}{4}1{,}5^4 - \frac{1}{4}(-1{,}5)^4 = \frac{81}{64} - \frac{81}{64} = 0\]

In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x) = x^3\) eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei \(-1{,}5\), die obere Integrationsgrenze bei \(1{,}5\).

Das bestimmte Integral
\[\int_{-1{,}5}^{1{,}5} \! x^3 \, \mathrm{d}x = 0\] entspricht nicht der Fläche zwischen Graph und x-Achse im Intervall \([-1{,}5;1{,}5]\).

Merke: Der Wert des Integrals stimmt nur dann mit der tatsächlichen Fläche überein, wenn im gewählten Intervall der Graph entweder nur ober- oder nur unterhalb der x-Achse liegt.

Wie man bei der Flächenberechnung mit Funktionen mit Vorzeichenwechsel umgeht, erfährst du im nächsten Kapitel "Fläche zwischen Graph und x-Achse".

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!