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Flächen­berechnung mit Integralen

In diesem Kapitel schauen wir uns die Flächenberechnung mit Integralen an.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Im vorherigen Kapitel haben wir die Formel für die Berechnung bestimmter Integrale kennengelernt…

$$ \int_{\color{blue}a}^{\color{red}b} \! f(x) \, \textrm{d}x = [F(x) + C]_{\color{blue}a}^{\color{red}b} = F({\color{red}b}) - F({\color{blue}a}) $$

…und uns folgende Beispiele angeschaut:

Beispiel 1 

$$ \int_{\color{blue}1}^{\color{red}3} \! 2x \, \textrm{d}x = \left[x^2\right]_{\color{blue}1}^{\color{red}3} = {\color{red}3}^2 - {\color{blue}1}^2 = 8 $$

Beispiel 2 

$$ \int_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} \! x^2 \, \textrm{d}x = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} = \frac{1}{3} \cdot {\color{red}0}^3 - \frac{1}{3}({\color{blue}-3})^3 = 9 $$

Außerdem haben wir erfahren, dass die obigen Ergebnisse eine geometrische Bedeutung haben:

Bildet man das bestimmte Integral einer reellen Funktion in einer Variablen, so lässt sich das Ergebnis im zweidimensionalen Koordinatensystem als Flächeninhalt der Fläche, die zwischen dem Graphen der Funktion, der $x$-Achse sowie den begrenzenden Parallelen zur $y$-Achse liegt, deuten.

Die begrenzenden Parallelen entsprechen den Integrationsgrenzen.

An diese Kenntnisse wollen wir jetzt anknüpfen und uns einige Beispiele graphisch anschauen.

Beispiele 

Ohne Vorzeichenwechsel 

Beispiel 3 

$$ \int_1^3 \! 2x \, \textrm{d}x = \left[x^2\right]_1^3 = 3^2 - 1^2 ={\color{red}8} $$

In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x) = 2x$ eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei $1$, die obere Integrationsgrenze bei $3$.

Das bestimmte Integral

$$ \int_1^3 \! 2x \, \textrm{d}x ={\color{red}8} $$

entspricht der Fläche zwischen Graph und $x$-Achse im Intervall $[1;3]$.

Abb. 1 

Beispiel 4 

$$ \int_{-2}^0 \! x^2 \, \textrm{d}x = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-2}^0 = \frac{1}{3}0^3 - \frac{1}{3}(-2)^3 ={\color{red}\frac{8}{3}} $$

In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei $-2$, die obere Integrationsgrenze bei $0$.

Das bestimmte Integral

$$ \int_{-2}^0 \! x^2 \, \textrm{d}x ={\color{red}\frac{8}{3}} $$

entspricht der Fläche zwischen Graph und $x$-Achse im Intervall $[-2;0]$.

Abb. 2 

Mit Vorzeichenwechsel 

Leider ist es nicht immer so einfach, die Fläche zwischen Graph und $x$-Achse mithilfe von Integralen zu berechnen. Das Integral ist nämlich nur eine Flächenbilanz, d. h. die Flächen heben sich auf, wenn ein Teil des Graphen im betrachteten Intervall oberhalb und der andere Teil unterhalb der $x$-Achse liegt.

Beispiel 5 

$$ \int_{-1{,}5}^{1{,}5} \! x^3 \, \textrm{d}x = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_{-1{,}5}^{1{,}5} = \frac{1}{4}1{,}5^4 - \frac{1}{4}(-1{,}5)^4 = \frac{81}{64} - \frac{81}{64} = 0 $$

In dem Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f(x) = x^3$ eingezeichnet. Die untere Integrationsgrenze ist bei $-1{,}5$, die obere Integrationsgrenze bei $1{,}5$.

Das bestimmte Integral

$$ \int_{-1{,}5}^{1{,}5} \! x^3 \, \textrm{d}x = 0 $$

entspricht nicht der Fläche zwischen Graph und $x$-Achse im Intervall $[-1{,}5;1{,}5]$.

Abb. 3 

Wir merken uns:

Der Wert des Integrals stimmt nur dann mit der tatsächlichen Fläche überein, wenn im gewählten Intervall der Graph entweder nur ober- oder nur unterhalb der $x$-Achse liegt.

Wie man die Fläche zwischen Graph und $x$-Achse in einem Intervall mit Vorzeichenwechsel berechnet, erfährst du im Kapitel Fläche zwischen Graph und $x$-Achse.

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