Integralrechner

Wiederholung: Integral

Anmerkungen

Das unbestimmte Integral \(\int \! f(x) \, \mathrm{d}x = F(x) + C\) berechnet die Stammfunktion \(F(x)\).
(„Unbestimmt“ meint ohne Integrationsgrenzen)

Das bestimmte Integral \(\int_{a}^{b} \! f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)\) berechnet eine Fläche*.

*die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion \(f(x)\) und der \(x\)-Achse im Intervall von \(a\) bis \(b\).

Bei der Berechnung von Integralen müssen wir die Integrationsregeln beachten.

Beispiele

	Funktion	Stammfunktion
Konstante Funktion	\[f(x) = k\]	\[F(x) = k \cdot x + C\]
Potenz	\[f(x) = x^n\]	\[F(x) = \frac{1}{1+n} x^{n+1} + C \]
Hyperbel	\[f(x) = \frac{1}{x}\]	\[F(x) = \ln|x|+ C\]
Wurzel	\[f(x) = \sqrt[n]{x}\]	\[F(x) = \frac{1}{\frac{1}{n} + 1}x^{\frac{1}{n} + 1} + C\]
e-Funktion	\[f(x) = e^x\]	\[F(x) = e^x + C\]
Logarithmus	\[f(x) = \ln(x)\]	\[F(x) = -x + x \cdot \ln(x)+ C\]
Sinus	\[f(x) = \sin(x)\]	\[F(x) = -\cos(x) + C\]
Kosinus	\[f(x) = \cos(x)\]	\[F(x) = \sin(x) + C\]
Tangens	\[f(x) = \tan(x)\]	\[F(x) = -\ln|\cos(x)| + C\]

 

Online-Rechner: Integral

Im Folgenden erkläre ich dir kurz, wie der Rechner funktioniert. Mach dir keine Sorgen:
Du musst weder Mathe- noch Technik-Freak sein, um mit dem Teil zurechtzukommen ;)

Eingabe

Bei unbestimmten Integralen: Funktionsterm (Integrand)

Bei bestimmten Integralen: Integrationsgrenzen und Funktionsterm (Integrand)

	Eingabe	Bedeutung
Addition	x+5	\(x+5\)
Subtraktion	3x-4	\(3x-4\)
Multiplikation	4x*4	\(4x \cdot 4\)
Division (Bruch)	3/4 1/(2x+1)	\(3:4\) bzw. \(\frac{3}{4}\) \(\frac{1}{2x+1}\)
Dezimalzahl	1.2	\(1{,}2\)
Potenz	x^{2}	\(x^2\)
Wurzel - \(n\)-te Wurzel	Sqrt[x] Surd[x,n]	\(\sqrt{x}\) \(\sqrt[n]{x}\)
Natürliche Logarithmusfunktion - Logarithmus zur Basis 2 - Logarithmus zur Basis 10 - Logarithmus zur Basis b	Log[x] Log2[x] Log10[x] Log[b,x]	\(\ln(x)\) \(\log_2(x)\) \(\log_{10}(x)\) \(\log_b(x)\)
Exponentialfunktion	Exp[x]	\(e^x\)
Sinusfunktion Kosinusfunktion Tangensfunktion	Sin[x] Cos[x] Tan[x]	\(\sin(x)\) \(\cos(x)\) \(\tan(x)\)

Bei Exponenten bitte nicht die geschweiften Klammern vergessen!

Unbestimmtes Integral berechnen

Beispiel

Berechne die Stammfunktion von \(f(x) = 2x\).*

*Berechne das Integral \(\int \! 2x \, \mathrm{d}x\).

Um das Beispiel zu berechnen, kannst du einfach auf „Jetzt berechnen“ klicken!
(Ich habe die Werte aus der Aufgabe für dich bereits in den Rechner eingegeben.)

Bestimmtes Integral berechnen

Beispiel

Berechne die Fläche zwischen \(f(x) = 2x\) und der \(x\)-Achse im Intervall von \(0\) bis \(2\).*

*Berechne das Integral \(\int_{0}^{2} \! 2x \, \mathrm{d}x\).

Um das Beispiel zu berechnen, kannst du einfach auf „Jetzt berechnen“ klicken!
(Ich habe die Werte aus der Aufgabe für dich bereits in den Rechner eingegeben.)

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