Integralrechner
Am Ende dieses Artikels findest du meinen Integralrechner, der dir beim Berechnen von Integralen hilft. Zunächst wiederholen wir jedoch alles, was du zu Integralen wissen musst.
Hauptartikel: Integralrechnung
Wiederholung: Integral
Integral = Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral
Anmerkungen
Das unbestimmte Integral \(\int \! f(x) \, \mathrm{d}x = F(x) + C\) berechnet die Stammfunktion \(F(x)\).
(„Unbestimmt“ meint ohne Integrationsgrenzen)
Das bestimmte Integral \(\int_{a}^{b} \! f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) - F(a)\) berechnet eine Fläche*.
*die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion \(f(x)\) und der \(x\)-Achse im Intervall von \(a\) bis \(b\).
Bei der Berechnung von Integralen müssen wir die Integrationsregeln beachten.
Beispiele
| Funktion | Stammfunktion | |
| Konstante Funktion | \[f(x) = k\] | \[F(x) = k \cdot x + C\] |
| Potenz | \[f(x) = x^n\] | \[F(x) = \frac{1}{1+n} x^{n+1} + C \] |
| Hyperbel | \[f(x) = \frac{1}{x}\] | \[F(x) = \ln|x|+ C\] |
| Wurzel | \[f(x) = \sqrt[n]{x}\] | \[F(x) = \frac{1}{\frac{1}{n} + 1}x^{\frac{1}{n} + 1} + C\] |
| e-Funktion | \[f(x) = e^x\] | \[F(x) = e^x + C\] |
| Logarithmus | \[f(x) = \ln(x)\] | \[F(x) = -x + x \cdot \ln(x)+ C\] |
| Sinus | \[f(x) = \sin(x)\] | \[F(x) = -\cos(x) + C\] |
| Kosinus | \[f(x) = \cos(x)\] | \[F(x) = \sin(x) + C\] |
| Tangens | \[f(x) = \tan(x)\] | \[F(x) = -\ln|\cos(x)| + C\] |
Online-Rechner: Integral
Im Folgenden erkläre ich dir kurz, wie der Rechner funktioniert. Mach dir keine Sorgen:
Du musst weder Mathe- noch Technik-Freak sein, um mit dem Teil zurechtzukommen ;)
Eingabe
Bei unbestimmten Integralen: Funktionsterm (Integrand)
Bei bestimmten Integralen: Integrationsgrenzen und Funktionsterm (Integrand)
| Eingabe | Bedeutung | |
| Addition | x+5 | \(x+5\) |
| Subtraktion | 3x-4 | \(3x-4\) |
| Multiplikation | 4x*4 | \(4x \cdot 4\) |
| Division (Bruch) |
3/4 1/(2x+1) |
\(3:4\) bzw. \(\frac{3}{4}\) \(\frac{1}{2x+1}\) |
| Dezimalzahl | 1.2 | \(1{,}2\) |
| Potenz | x^{2} | \(x^2\) |
| Wurzel - \(n\)-te Wurzel |
Sqrt[x] Surd[x,n] |
\(\sqrt{x}\) \(\sqrt[n]{x}\) |
| Natürliche Logarithmusfunktion - Logarithmus zur Basis 2 - Logarithmus zur Basis 10 - Logarithmus zur Basis b |
Log[x] Log2[x] Log10[x] Log[b,x] |
\(\ln(x)\) \(\log_2(x)\) \(\log_{10}(x)\) \(\log_b(x)\) |
| Exponentialfunktion | Exp[x] | \(e^x\) |
| Sinusfunktion Kosinusfunktion Tangensfunktion |
Sin[x] Cos[x] Tan[x] |
\(\sin(x)\) \(\cos(x)\) \(\tan(x)\) |
Bei Exponenten bitte nicht die geschweiften Klammern vergessen!
Unbestimmtes Integral berechnen
Beispiel
Berechne die Stammfunktion von \(f(x) = 2x\).*
*Berechne das Integral \(\int \! 2x \, \mathrm{d}x\).
Um das Beispiel zu berechnen, kannst du einfach auf „Jetzt berechnen“ klicken!
(Ich habe die Werte aus der Aufgabe für dich bereits in den Rechner eingegeben.)
Bestimmtes Integral berechnen
Beispiel
Berechne die Fläche zwischen \(f(x) = 2x\) und der \(x\)-Achse im Intervall von \(0\) bis \(2\).*
*Berechne das Integral \(\int_{0}^{2} \! 2x \, \mathrm{d}x\).
Um das Beispiel zu berechnen, kannst du einfach auf „Jetzt berechnen“ klicken!
(Ich habe die Werte aus der Aufgabe für dich bereits in den Rechner eingegeben.)
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider