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Integration durch Substitution

In diesem Kapitel lernen wir die Integration durch Substitution kennen.
[Alternative Bezeichnung: Substitutionsregel]

Zur Ableitung einer verketteten Funktion setzt man die Kettenregel ein.

Kettenregel

\(f(x) = g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

Was beim Ableiten die Kettenregel ist, bezeichnet man beim Integrieren als Substitutionsregel.

Substitutionsregel

\(\int f(x) \, \mathrm{d}x = \int \! f(\varphi(u)) \cdot \varphi'(u) \, \mathrm{d}u\)

Als Faustregel kann man sich merken, dass die Integration durch Substitution immer dann anzuwenden ist, wenn man beim Ableiten der Funktion die Kettenregel anwenden würde. Das ist der Fall, wenn es sich um ineinander verschachtelte (= verkettete) Funktionen handelt.

PS: Bei \(\varphi\) handelt es sich um das kleine "Phi" des griechischen Alphabets.

Integration durch Substitution - Beispiele

Vorgehensweise

  1. Substitution vorbereiten
    1.1 Den zu substituierenden Term bestimmen
    1.2 Gleichung aus Schritt 1 nach \(x\) auflösen
    1.3 Gleichung aus Schritt 2 ableiten
    1.4 Integrationsvariable ersetzen
  2. Substitution
  3. Integrieren
  4. Rücksubstitution

zu 1.1)

Im ersten Schritt müssen wir uns überlegen, welchen Teil der Funktion wir substituieren wollen.

Ziel ist es, das Integral auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen.

zu 1.2)

In diesem Schritt berechnet man \(\varphi(u)\).

Sieht man sich die Substitutionsregel

\(\int \! f({\color{red}x}) \, \mathrm{d}x = \int \! f({\color{red}\varphi(u)}) \cdot \varphi'(u) \, \mathrm{d}u\)

etwas genauer an, kann man feststellen, dass gilt:

\({\fcolorbox{red}{}{\(x = \varphi(u)\)}}\)

Um \(\varphi(u)\) zu berechnen, müssen wir die Gleichung aus dem 1. Schritt nach \(x\) auflösen.

zu 1.3)

In diesem Schritt berechnet man \(\varphi'(u)\).

zu 1.4)

Sieht man sich die Substitutionsregel

\(\int \! f(x) \, {\color{red}\mathrm{d}x} = \int \! f(\varphi(u)) \cdot {\color{red}\varphi'(u) \, \mathrm{d}u}\)

etwas genauer an, kann man feststellen, dass gilt:

\({\fcolorbox{red}{}{\(\mathrm{d}x = \varphi'(u) \, \mathrm{d}u\)}}\)

\(\Rightarrow\) Die Integrationsvariable \(x\) wird zu \(u\)!

zu 2.)

Der Begriff "Substitution" kommt vom aus dem Lateinischen und bedeutet "ersetzen".

Was im 2. Schritt genau ersetzt wird, schauen wir uns anhand einiger Beispiele an.

\({\colorbox{yellow}{\(F(x) = \int \! \text{e}^{2x} \, \mathrm{d}x\)}}\)

1.1) Den zu substituierenden Term bestimmen

Gesucht ist die Stammfunktion von \(\text{e}^{2x}\).

Wenn im Exponenten nur ein \(x\) stehen würde, wäre die Stammfunktion:

\(F(x) = \int \! \text{e}^{x} \, \mathrm{d}x = e^x + C\)

Die Stammfunktion der e-Funktion ist die e-Funktion selbst.

Ganz so einfach ist das in unserem Beispiel nicht. Der Exponent \(2x\) stört uns!

Im 1. Schritt ersetzen wir den Exponenten \(2x\) durch die Variable \(u\):

\({\fcolorbox{orange}{}{\(2x = u\)}}\)

1.2) Gleichung aus Schritt 1 nach \(x\) auflösen

\(2x = u \quad |:2\)

\({\fcolorbox{red}{}{\(x = \frac{1}{2}u\)}}\)

\(\Rightarrow \varphi(u) = \frac{1}{2}u\)

1.3) Gleichung aus Schritt 2 ableiten

\(\varphi'(u) = \frac{1}{2}\)

1.4) Integrationsvariable ersetzen

\(\mathrm{d}x = \varphi'(u) \, \mathrm{d}u\)

\({\fcolorbox{red}{}{\(\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \, \mathrm{d}u\)}}\)

2.) Substitution

\(F(x) = \int \text{e}^{2x} \, \mathrm{d}x\)

mit

  • \(2x = u\)
  • \(\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \, \mathrm{d}u\)

ergibt

\(\begin{align*}
F(u) &= \int \! \text{e}^{u} \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}u \\
&= \frac{1}{2} \cdot \int \! \text{e}^{u} \, \mathrm{d}u
\end{align*}\)

Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen konnten wir einen Teil des Integranden ersetzen und auf diese Weise das Integral vereinfachen. Jetzt haben wir es mit einem einfacher handhabbarem Integral zu tun, das wir im nächsten Schritt integrieren werden.

3.) Integrieren

\(F(u) = \frac{1}{2} \cdot \int \! \text{e}^{u} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \cdot \text{e}^{u} {\color{grey} \: + \: C}\)

4.) Rücksubstitution

\({\fcolorbox{orange}{}{\(u = 2x\)}}\)

in

\(F(u) = \frac{1}{2} \cdot \text{e}^{{\color{red}u}} {\color{grey} \: + \: C}\)

ergibt

\(F(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{e}^{{\color{red}2x}} {\color{grey} \: + \: C}\)

\({\colorbox{yellow}{\(F(x) = \int \! x \cdot \sqrt{x + 1}^3 \, \mathrm{d}x\)}}\)

1.1) Den zu substituierenden Term bestimmen

Gesucht ist die Stammfunktion von \(x \cdot \sqrt{x + 1}^3\).

Die Wurzel \(\sqrt{x + 1}\) stört uns beim Integrieren!

Im 1. Schritt ersetzen wir deshalb die Wurzel durch die Variable \(u\):

\({\fcolorbox{orange}{}{\(\sqrt{x + 1} = u\)}}\)

1.2) Gleichung aus Schritt 1 nach \(x\) auflösen

\(\sqrt{x + 1} = u \quad |\text{Quadrieren}\)

\(x + 1 = u^2 \quad |-1\)

\({\fcolorbox{red}{}{\(x = u^2 - 1\)}}\)

\(\Rightarrow \varphi(u) = u^2 - 1\)

1.3) Gleichung aus Schritt 2 ableiten

\(\varphi'(u) = 2u\)

1.4) Integrationsvariable ersetzen

\(\mathrm{d}x = \varphi'(u) \, \mathrm{d}u\)

\({\fcolorbox{red}{}{\(\mathrm{d}x = 2u \, \mathrm{d}u\)}}\)

2.) Substitution

\(F(x) = \int \! x \cdot \sqrt{x + 1}^3 \, \mathrm{d}x\)

mit

  • \(x = u^2 - 1\)
  • \(\sqrt{x + 1} = u\)
  • \(\mathrm{d}x = 2u \, \mathrm{d}u\)

ergibt

\(F(u) = \int \! (u^2 - 1) \cdot u^3 \cdot 2u \, \mathrm{d}u\)

Zusammenrechnen

\(\begin{align*}
F(u) &= \int \! (u^2 - 1) \cdot 2u^4 \, \mathrm{d}u \\
&= \int \! 2u^6 - 2u^4 \, \mathrm{d}u \\
&= 2 \int \! (u^6 - u^4) \, \mathrm{d}u
\end{align*}\)

Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen konnten wir einen Teil des Integranden ersetzen und auf diese Weise das Integral vereinfachen. Jetzt haben wir es mit einem einfacher handhabbarem Integral zu tun, das wir im nächsten Schritt integrieren werden.

3.) Integrieren

\(\begin{align*}
F(u) = 2 \int \! (u^6 - u^4) \, \mathrm{d}u &= 2 \cdot \left(\frac{1}{7}u^7 - \frac{1}{5}u^5\right) {\color{grey} \: + \: C} \\
&= \frac{2}{7}u^7 - \frac{2}{5}u^5 {\color{grey} \: + \: C}
\end{align*}\)

4.) Rücksubstitution

\({\fcolorbox{orange}{}{\(u = \sqrt{x + 1}\)}}\)

in

\(F(u) = \frac{2}{7}{\color{red}u}^7 - \frac{2}{5}{\color{red}u}^5 {\color{grey} \: + \: C}\)

ergibt

\(F(x) = \frac{2}{7}{\color{red}\sqrt{x + 1}}^7 - \frac{2}{5}{\color{red}\sqrt{x + 1}}^5 {\color{grey} \: + \: C}\)

Auf eine weitere Vereinfachung des Terms wird an dieser Stelle verzichtet.

Zusammenfassend kann man sagen:
Ziel der Integration durch Substitution ist es, durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen ein Teil des Integranden zu ersetzen, um das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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