Unechter Bruch

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein unechter Bruch ist.
(Alternative Bezeichnung: Uneigentlicher Bruch)

In der Schule definiert man einen unechten Bruch meist folgendermaßen:

Ein unechter Bruch ist ein Bruch,
bei dem der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist:

\(\text{Zähler} \geq \text{Nenner}\)

Beispiele

\(\frac{2}{2}\) ist ein unechter Bruch, da \(2 = 2\).

\(\frac{7}{7}\) ist ein unechter Bruch, da \(7 = 7\).

\(\frac{4}{3}\) ist ein unechter Bruch, da \(4 > 3\).

\(\frac{7}{5}\) ist ein unechter Bruch, da \(7 > 5\).

\(\frac{1}{2}\) ist ein echter Bruch, da \(1 < 2\).

\(\frac{7}{9}\) ist ein echter Bruch, da \(7 < 9\).

Unechte Brüche veranschaulicht

Fall 1: \(\text{Zähler} = \text{Nenner}\)
\(\rightarrow\) eine ganze Torte (z.B. \(\frac{4}{4}\))

Fall 2: \(\text{Zähler} > \text{Nenner}\)
\(\rightarrow\) mehr als eine ganze Torte (z.B. \(\frac{5}{4}\))

Anders formuliert:

Wird ein unechter Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt,
so ist das Ergebnis immer größer oder gleich 1,0.

Echte Brüche veranschaulicht

\(\text{Zähler} < \text{Nenner}\)
\(\rightarrow\) weniger als eine ganze Torte (z.B. \(\frac{1}{4}\))

Anders formuliert:

Wird ein echter Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt,
so ist das Ergebnis immer kleiner als 1,0.

Unechte Brüche mit negativem Vorzeichen

\(-\frac{2}{2}\) oder \(-\frac{7}{5}\) sind selbstverständlich auch unechte Brüche.
Damit das gilt, müssen wir die Definition umformulieren zu:

Ein unechter Bruch ist ein Bruch,
bei dem der Betrag des Zählers größer oder gleich dem des Nenners ist:

\(|\text{Zähler}| \geq |\text{Nenner}|\)

Den Betrag einer reellen Zahl erhält man durch Weglassen des Vorzeichens.
Zur Schreibweise: Der Betrag einer Zahl \(x\) wird meist mit \(|x|\) bezeichnet.

Erklärung

Aus dem Kapitel Brüche wissen wir, dass man \(-\frac{7}{5}\) auch als \(\frac{7}{-5}\) oder \(\frac{-7}{5}\) schreiben kann. Prüfen wir allerdings den Bruch \(\frac{-7}{5}\) darauf, ob er nach der schulischen Definition (Zähler \(\geq\) Nenner) ein unechter Bruch ist, stellen wir fest: \(-7 < 5\) - also \(\frac{-7}{5}\) ist echter Bruch. Dagegen wäre \(\frac{7}{-5}\) wegen \(7 > -5\) ein unechter Bruch. Ein Ausweg aus diesem Dilemma schafft die Definition über den Betrag, da gilt: \(\frac{|-7|}{|5|} = \frac{|7|}{|-5|} = \frac{7}{5}\) und damit \(7 > 5\), d.h. bei \(\frac{7}{-5}\) und \(\frac{-7}{5}\) handelt es sich in beiden Fällen um unechte Brüche!

Beispiele

\(\frac{2}{-2}\) ist ein unechter Bruch, da \(|2| = |-2|\) (d.h. \(2 = 2\)).

\(\frac{-2}{2}\) ist ein unechter Bruch, da \(|-2| = |2|\) (d.h. \(2 = 2\)).

Wegen \(-\frac{2}{2} = \frac{2}{-2} = \frac{-2}{2}\) gilt:

\(-\frac{2}{2}\) ist ein unechter Bruch.

Unechte Brüche umwandeln

Unechte Brüche, bei denen
der Zähler ein ganzzahliges Vielfaches des Nenners ist,
lassen sich in ganze Zahlen umwandeln.

Diese Brüche nennt man auch Scheinbrüche.

Beispiele

\(\frac{3}{3} = 1 \,\,\,\quad\qquad (3:3=1)\)

\(\frac{8}{4} = 2 \,\,\,\quad\qquad (8:4=2)\)

\(\frac{-12}{3} = -4 \qquad (-12:3=-4)\)

Unechte Brüche, bei denen
der Zähler kein ganzzahliges Vielfaches des Nenners ist,
lassen sich in gemischte Zahlen umwandeln.

Beispiele

\(\frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}\)

\(\frac{11}{4} = 2 \frac{3}{4}\)

\(\frac{-14}{3} = -4 \frac{2}{3}\)

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Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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