Diskriminante

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Diskriminante versteht.

Benötigtes Vorwissen

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ist ein Rechenausdruck, der eine Aussage über die Anzahl der Lösungen ermöglicht.

Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel in den Lösungsformeln:

  Allgemeine Form Normalform
Quadratische Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) \(x^2 + px + q = 0\)
Lösungsformel \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{{\colorbox{yellow}{\(b^2 - 4ac\)}}}}{2a}\)
Mitternachtsformel
\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\colorbox{yellow}{\(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\)}}}\)
pq-Formel
Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\)
Anzahl der Lösungen \(D < 0\): Keine (reelle) Lösung*\(\phantom{,,}\)
\(D = 0\): Eine Lösung\(\phantom{\qquad\quad xx}\)
\(D > 0\): Zwei Lösungen\(\phantom{\quad\quad xx}\)

* (Anmerkung: Wenn wir die Definitionsmenge auf die Menge der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) erweitern, hat eine quadratische Gleichung mit \(D < 0\) zwei komplexe Lösungen.)

Ab sofort werden wir vor dem Einsetzen in die Lösungsformeln mithilfe der Determinante prüfen, ob es Lösungen gibt. Wenn es keine gibt, sparen wir uns das Einsetzen natürlich!

1. Diskriminante der Mitternachtsformel

1) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen
2) Diskriminante berechnen
3) \(a\), \(b\) und \(D\) in die Mitternachtsformel einsetzen
4) Lösungen berechnen
5) Lösungsmenge aufschreiben

Beispiele

  • \(2x^2 - 8x + 11 = 0\)

    1) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen

    \(a = 2\), \(b = -8\) und \(c = 11\)

    2) Diskriminante berechnen

    \(\begin{align*}
    D
    &= b^2 - 4ac \\[5px]
    &= (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 \\[5px]
    &= 64 - 88 \\[5px]
    &= -24
    \end{align*}\)

    \({\colorbox{yellow}{\(D < 0 \quad \Rightarrow \quad\) Es gibt keine Lösung!}}\)

    3) \(a\), \(b\) und \(D\) in die Mitternachtsformel einsetzen

    Dieser Schritt entfällt hier.

    4) Lösungen berechnen

    Dieser Schritt entfällt hier.

    5) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{\,\}\)

  • \(2x^2 - 8x + 8 = 0\)

    1) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen

    \(a = 2\), \(b = -8\) und \(c = 8\)

    2) Diskriminante berechnen


    \(\begin{align*}
    D
    &= b^2 - 4ac \\[5px]
    &= (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 \\[5px]
    &= 64 - 64 \\[5px]
    &= 0
    \end{align*}\)

    \({\colorbox{yellow}{\(D = 0 \quad \Rightarrow \quad\) Es gibt eine Lösung!}}\)

    3) \(a\), \(b\) und \(D\) in die Mitternachtsformel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[5px]
    &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 2}
    \end{align*}\)

    4) Lösungen berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{x_{1,2}}
    &= \frac{8 \pm 0}{4}
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_{1} = \dfrac{8 - 0}{4} = \dfrac{8}{4} = 2\)

    \(x_{2} = \dfrac{8 + 0}{4} =\dfrac{8}{4} = 2\)

    5) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{2\}\)

  • \(2x^2 - 8x + 6 = 0\)

    1) \(a\), \(b\) und \(c\) aus der allgemeinen Form herauslesen

    \(a = 2\), \(b = -8\) und \(c = 6\)

    2) Diskriminante berechnen

    \(\begin{align*}
    D
    &= b^2 - 4ac \\[5px]
    &= (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 \\[5px]
    &= 64 - 48 \\[5px]
    &= 16
    \end{align*}\)

    \({\colorbox{yellow}{\(D > 0 \quad \Rightarrow \quad\) Es gibt zwei Lösungen!}}\)

    3) \(a\), \(b\) und \(D\) in die Mitternachtsformel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[5px]
    &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 2}
    \end{align*}\)

    4) Lösungen berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{x_{1,2}}
    &= \frac{8 \pm 4}{4}
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_{1} = \dfrac{8 - 4}{4} = \dfrac{4}{4} = 1\)

    \(x_{2} = \dfrac{8 + 4}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\)

    5) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{1; 3\}\)

2. Diskriminante der pq-Formel

1) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen
2) Diskriminante berechnen
3) \(p\) und \(D\) in die pq-Formel einsetzen
4) Lösungen berechnen
5) Lösungsmenge aufschreiben

Beispiele

  • \(x^2 - 4x + 7= 0\)

    1) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen

    \(p -4\) und \(q = 7\)

    2) Diskriminante berechnen

    \(\begin{align*}
    D
    &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \\[5px]
    &= \left(\frac{-4}{2}\right)^2 - 7 \\[5px]
    &= \left(-2\right)^2 - 7 \\[5px]
    &= 4 - 7 \\[5px]
    &= -3
    \end{align*}\)

    \({\colorbox{yellow}{\(D < 0 \quad \Rightarrow \quad\) Es gibt keine Lösung!}}\)

    3) \(p\) und \(D\) in die pq-Formel einsetzen

    Dieser Schritt entfällt hier.

    4) Lösungen berechnen

    Dieser Schritt entfällt hier.

    5) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{\,\}\)

  • \(x^2 - 4x + 4 = 0\)

    1) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen

    \(p = -4\) und \(q = 4\)

    2) Diskriminante berechnen


    \(\begin{align*}
    D
    &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \\[5px]
    &= \left(\frac{-4}{2}\right)^2 - 4 \\[5px]
    &= \left(-2\right)^2 - 4 \\[5px]
    &= 4 - 4 \\[5px]
    &= 0
    \end{align*}\)

    \({\colorbox{yellow}{\(D = 0 \quad \Rightarrow \quad\) Es gibt eine Lösung!}}\)

    3) \(p\) und \(D\) in die pq-Formel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{D} \\[5px]
    &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{0}
    \end{align*}\)

    4) Lösungen berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{x_{1,2}}
    &= 2 \pm 0
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = 2 - 0 = 2\)

    \(x_2 = 2 + 0 = 2\)

    5) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{2\}\)

  • \(x^2 - 4x + 3 = 0\)

    1) \(p\) und \(q\) aus der Normalform herauslesen

    \(p = -4\) und \(q = 3\)

    2) Diskriminante berechnen


    \(\begin{align*}
    D
    &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \\[5px]
    &= \left(\frac{-4}{2}\right)^2 - 3 \\[5px]
    &= \left(-2\right)^2 - 3 \\[5px]
    &= 4 - 3 \\[5px]
    &= 1
    \end{align*}\)

    \({\colorbox{yellow}{\(D > 0 \quad \Rightarrow \quad\) Es gibt zwei Lösungen!}}\)

    3) \(p\) und \(D\) in die pq-Formel einsetzen

    \(\begin{align*}
    x_{1,2}
    &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{D} \\[5px]
    &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{1}
    \end{align*}\)

    4) Lösungen berechnen

    \(\begin{align*}
    \phantom{x_{1,2}}
    &= 2 \pm 1
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = 2 - 1 = 1\)

    \(x_2 = 2 + 1 = 3\)

    5) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{1; 3\}\)

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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