Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung löst.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine quadratische Gleichung?
- Binomische Formeln
Einordnung
Es gibt vier Arten von quadratischen Gleichungen in jeweils zwei Darstellungsformen:
| Allgemeine Form | Normalform | |
|---|---|---|
| Reinquadratisch ohne Absolutglied | $ax^2 = 0$ | $x^2 = 0$ |
| Reinquadratisch mit Absolutglied | $ax^2 + c = 0$ | $x^2 + q = 0$ |
| Gemischtquadratisch ohne Absolutglied | $ax^2 + bx = 0$ | $x^2 + px = 0$ |
| Gemischtquadratisch mit Absolutglied | $ax^2 + bx + c = 0$ | $x^2 + px + q = 0$ |
Nur gemischtquadratische Gleichungen lassen sich durch quadratische Ergänzung lösen.
Für gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied gibt es aber ein einfacheres Lösungsverfahren als die quadratische Ergänzung, weshalb wir uns hier auf gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied beschränken.
Rechentrick
Um gemischtquadratische Gleichungen nach $x$ aufzulösen, bedienen wir uns eines Tricks: Wir formen die gemischtquadratische Gleichung in ihre binomische Form $(x + d)^2 = e$ um.
Jede gemischtquadratische Gleichung lässt sich in die binomische Form
$$ (x + d)^2 = e $$
bringen.
Gleichungen der Form $(x + d)^2 = e$ können wir ganz einfach durch Wurzelziehen lösen.
Löse die quadratische Gleichung
$$ (x + 3)^2 = 4 $$
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} (x + 3)^2 &= 4 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{(x + 3)^2} &= \pm \sqrt{4} \\[5px] x + 3 &= \pm 2 \end{align*} $$
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$$ \begin{align*} x + 3 &= \pm 2 &&{\color{gray}|\, -3} \\[5px] x &= \pm 2 - 3 \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = -2 - 3 = -5 $$
$$ x_2 = 2 - 3 = -1 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-5; -1\} $$
Anleitung
Um Gleichungen wie $ax^2 + bx + c = 0$ auf die Form $(x + d)^2 = e$ zu bringen, müssen wir in der Regel quadratisch ergänzen
. Wie das funktioniert, schauen wir uns anhand einiger Beispiele an. Grundsätzlich lösen wir gemischtquadratische Gleichungen (mit Absolutglied) folgendermaßen:
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
Absolutglied auf die rechte Seite bringen
Quadratische Ergänzung durchführen
Binomische Formel anwenden
Wurzel ziehen
Gleichungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
Lösungsmenge aufschreiben
Beispiele
Löse die quadratische Gleichung
$$ 2x^2 + 12x + 10 = 0 $$
mithilfe der quadratischen Ergänzung.
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
$$ \begin{align*} 2x^2 + 12x + 10 &= 0 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] x^2 + 6x + 5 &= 0 \end{align*} $$
Absolutglied auf die rechte Seite bringen
$$ \begin{align*} x^2 + 6x + 5 &= 0 &&{\color{gray}|\, -5} \\[5px] x^2 + 6x &= -5 \end{align*} $$
Quadratische Ergänzung durchführen
Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von $x$:
$$ \begin{align*} x^2 + {\color{red}6}x &= -5 &&{\color{gray}\left|\, +\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right.} \\[5px] x^2 + 6x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -5 {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px] x^2 + 6x + 3^2 &= -5 + 3^2 \\[5px] x^2 + 6x + 3^2 &= -5 + 9 \\[5px] x^2 + 6x + 3^2 &= 4 \end{align*} $$
Binomische Formel anwenden
$$ \begin{align*} {\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} 6x + {\color{red}3}^2 &= 4 &&{\color{gray}| \text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px] ({\color{red}x + 3})^2 &= 4 \end{align*} $$
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} (x + 3)^2 &= 4 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{(x + 3)^2} &= \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$4$}}} &&{\colorbox{yellow}{Wenn der Term unter der Wurzel $> 0$ ist...}} \\[5px] x + 3 &= \pm 2 \end{align*} $$
Gleichungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$$ \begin{align*} x + 3 &= \pm 2 &&{\color{gray}|\, -3} \\[5px] x &= \pm 2 - 3 \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = -2 - 3 = -5 $$
$$ x_2 = 2 - 3 = -1 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-5; -1\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...gibt es zwei Lösungen!}} $$
Löse die quadratische Gleichung
$$ 2x^2 - 12x + 18 = 0 $$
mithilfe der quadratischen Ergänzung.
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
$$ \begin{align*} 2x^2 - 12x + 18 &= 0 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] x^2 - 6x + 9 &= 0 \end{align*} $$
Absolutglied auf die rechte Seite bringen
$$ \begin{align*} x^2 - 6x + 9 &= 0 &&{\color{gray}|\, -9} \\[5px] x^2 - 6x &= -9 \end{align*} $$
Quadratische Ergänzung durchführen
Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von $x$.
$$ \begin{align*} x^2 - {\color{red}6}x &= -9 &&{\color{gray}\left|\, +\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right.} \\[5px] x^2 - 6x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -9 {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px] x^2 - 6x + 3^2 &= -9 + 3^2 \\[5px] x^2 - 6x + 3^2 &= -9 + 9 \\[5px] x^2 - 6x + 3^2 &= 0 \end{align*} $$
Binomische Formel anwenden
$$ \begin{align*} {\color{red}x}^2 {\color{red}\,-\,} 6x + {\color{red}3}^2 &= 0 &&{\color{gray}| \text{ 2. Binomische Formel}} \\[5px] ({\color{red}x - 3})^2 &= 0 \end{align*} $$
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} (x - 3)^2 &= 0 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{(x - 3)^2} &= \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$0$}}} &&{\colorbox{yellow}{Wenn der Term unter der Wurzel $= 0$ ist...}} \\[5px] x - 3 &= \pm 0 \end{align*} $$
Gleichungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$$ \begin{align*} x - 3 &= \pm 0 &&{\color{gray}|\, +3} \\[5px] x &= \pm 0 + 3 \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = 0 + 3 = 3 $$
$$ x_2 = 0 + 3 = 3 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{3\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...gibt es eine Lösung!}} $$
Löse die quadratische Gleichung
$$ 2x^2 + 12x + 20 = 0 $$
mithilfe der quadratischen Ergänzung.
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
$$ \begin{align*} 2x^2 + 12x + 20 &= 0 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] x^2 + 6x + 10 &= 0 \end{align*} $$
Absolutglied auf die rechte Seite bringen
$$ \begin{align*} x^2 + 6x + 10 &= 0 &&{\color{gray}|\, -10} \\[5px] x^2 + 6x &= -10 \end{align*} $$
Quadratische Ergänzung durchführen
Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von $x$.
$$ \begin{align*} x^2 + {\color{red}6}x &= -10 &&{\color{gray}\left|\, +\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right.} \\[5px] x^2 + 6x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -10 {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px] x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 3^2 \\[5px] x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 9 \\[5px] x^2 + 6x + 3^2 &= -1 \end{align*} $$
Binomische Formel anwenden
$$ \begin{align*} {\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} 6x + {\color{red}3}^2 &= -1 &&{\color{gray}|\text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px] ({\color{red}x + 3})^2 &= -1 \end{align*} $$
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} (x + 3)^2 &= -1 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{(x + 3)^2} &= \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$-1$}}} &&{\colorbox{yellow}{Wenn der Term unter der Wurzel $< 0$ ist...}} \end{align*} $$
$\Rightarrow$ In der Menge der reellen Zahlen ist das Wurzelziehen einer Wurzel mit negativem Radikanden nicht definiert. Aus diesem Grund gibt es keine (reellen) Lösungen!
Gleichungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
Dieser Schritt entfällt hier.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{\,\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...gibt es keine Lösung!}} $$
Anmerkung
Wenn wir die Definitionsmenge der quadratischen Gleichung auf die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erweitern, hat diese Gleichung zwei komplexe Lösungen.
Herleitung von Lösungsformeln
Mithilfe der quadratischen Ergänzung können wir die beiden Lösungsformeln – nämlich die Mitternachtsformel und die pq-Formel – für quadratische Gleichungen herleiten.
