Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung löst.

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Es gibt vier Arten von quadratischen Gleichungen in jeweils zwei Darstellungsformen:

  Allgemeine Form Normalform
Reinquadratisch ohne Absolutglied \(ax^2 = 0\) \(x^2 = 0\)
Reinquadratisch mit Absolutglied \(ax^2 + c = 0\) \(x^2 + q = 0\)
Gemischtquadratisch ohne Absolutglied \(ax^2 + bx = 0\) \(x^2 + px = 0\)
Gemischtquadratisch mit Absolutglied \(ax^2 + bx + c = 0\) \(x^2 + px + q = 0\)

Nur gemischtquadratische Gleichungen lassen sich durch quadratische Ergänzung lösen!
Für gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied gibt es aber ein einfacheres Lösungsverfahren als die quadratische Ergänzung (siehe Quadratische Gleichungen lösen), weshalb wir uns hier auf gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied beschränken.

Problemstellung

Um gemischtquadratische Gleichungen nach \(x\) aufzulösen, müssen wir uns eines Tricks bedienen: Wir formen die gemischtquadratische Gleichung in die Form \((x + d)^2 = e\) um.

Jede gemischtquadratische Gleichung lässt sich in die binomische Form

\((x + d)^2 = e\)

bringen.

Gleichungen der Form \((x + d)^2 = e\) können wir ganz einfach durch Wurzelziehen lösen.

Beispiel

\((x + 3)^2 = 4\)

1) Wurzel ziehen

\(\begin{align*}
(x + 3)^2 &= 4 &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
\sqrt{(x + 3)^2} &= \pm \sqrt{4} \\[5px]
x + 3 &= \pm 2
\end{align*}\)

2) Gleichung nach \(x\) auflösen

\(\begin{align*}
x + 3 &= \pm 2 &&{\color{gray}| -3} \\[5px]
x &= \pm 2 - 3
\end{align*}\)

Fallunterscheidung

\(x_1 = -2 - 3 = -5 \)

\(x_2 = 2 - 3 = -1\)

3) Lösungsmenge aufschreiben

\(\mathbb{L} = \{-5; -1\}\)

Um Gleichungen wie \(ax^2 + bx + c = 0\) auf die Form \((x + d)^2 = e\) zu bringen, müssen wir in der Regel quadratisch ergänzen. Wie das funktioniert, schauen wir uns anhand einiger Beispiele an. Grundsätzlich lösen wir gemischtquadratische Gleichungen folgendermaßen:

1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen
2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen
3) Quadratische Ergänzung durchführen
4) Binomische Formel anwenden
5) Wurzel ziehen
6) Gleichungen nach \(x\) auflösen
7) Lösungsmenge aufschreiben

Beispiele

  • \(2x^2 + 12x + 10 = 0\)

    1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen

    \(\begin{align*}
    2x^2 + 12x + 10 &= 0 &&{\color{gray}|:2} \\[5px]
    x^2 + 6x + 5 &= 0
    \end{align*}\)

    2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen

    \(\begin{align*}
    x^2 + 6x + 5 &= 0 &&{\color{gray}|-5} \\[5px]
    x^2 + 6x &= -5
    \end{align*}\)

    3) Quadratische Ergänzung durchführen

    Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).
    \(\begin{align*}
    x^2 + {\color{red}6}x &= -5 &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right.} \\[5px]
    x^2 + 6x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -5 {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= -5 + 3^2 \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= -5 + 9 \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= 4
    \end{align*}\)

    4) Binomische Formel anwenden

    \(\begin{align*}
    {\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} 6x + {\color{red}3}^2 &= 4 &&{\color{gray}|\text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px]
    ({\color{red}x + 3})^2 &= 4
    \end{align*}\)

    5) Wurzel ziehen

    \(\begin{align*}
    (x + 3)^2 &= 4 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
    \sqrt{(x - 3)^2} &= \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(4\)}}} &&{\colorbox{yellow}{Wenn der Term unter der Wurzel \(> 0\) ist....}} \\[5px]
    x + 3 &= \pm 2
    \end{align*}\)

    6) Gleichung nach \(x\) auflösen

    \(\begin{align*}
    x + 3 &= \pm 2 &&{\color{gray}|-3} \\[5px]
    x &= \pm 2 - 3
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = -2 - 3 = -5\)

    \(x_2 = 2 - 3 = -1\)

    7) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{-5; -1\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...gibt es zwei Lösungen!}}\)

  • \(2x^2 - 12x + 18 = 0\)

    1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen

    \(\begin{align*}
    2x^2 - 12x + 18 &= 0 &&{\color{gray}|:2} \\[5px]
    x^2 - 6x + 9 &= 0
    \end{align*}\)

    2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen

    \(\begin{align*}
    x^2 - 6x + 9 &= 0 &&{\color{gray}|-9} \\[5px]
    x^2 - 6x &= -9
    \end{align*}\)

    3) Quadratische Ergänzung durchführen

    Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).
    \(\begin{align*}
    x^2 - {\color{red}6}x &= -9 &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right.} \\[5px]
    x^2 - 6x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -9 {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px]
    x^2 - 6x + 3^2 &= -9 + 3^2 \\[5px]
    x^2 - 6x + 3^2 &= -9 + 9 \\[5px]
    x^2 - 6x + 3^2 &= 0
    \end{align*}\)

    4) Binomische Formel anwenden

    \(\begin{align*}
    {\color{red}x}^2 {\color{red}\,-\,} 6x + {\color{red}3}^2 &= 0 &&{\color{gray}|\text{ 2. Binomische Formel}} \\[5px]
    ({\color{red}x - 3})^2 &= 0
    \end{align*}\)

    5) Wurzel ziehen

    \(\begin{align*}
    (x - 3)^2 &= 0 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
    \sqrt{(x - 3)^2} &= \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(0\)}}} &&{\colorbox{yellow}{Wenn der Term unter der Wurzel \(= 0\) ist....}} \\[5px]
    x - 3 &= \pm 0
    \end{align*}\)

    6) Gleichung nach \(x\) auflösen

    \(\begin{align*}
    x - 3 &= \pm 0 &&{\color{gray}|+3} \\[5px]
    x &= \pm 0 + 3
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = 0 + 3 = 3\)

    \(x_2 = 0 + 3 = 3\)

    7) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{3\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...gibt es eine Lösung!}}\)

  • \(2x^2 + 12x + 20 = 0\)

    1) Quadratische Gleichung in Normalform bringen

    \(\begin{align*}
    2x^2 + 12x + 20 &= 0 &&{\color{gray}|:2} \\[5px]
    x^2 + 6x + 10 &= 0
    \end{align*}\)

    2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen

    \(\begin{align*}
    x^2 + 6x + 10 &= 0 &&{\color{gray}|-10} \\[5px]
    x^2 + 6x &= -10
    \end{align*}\)

    3) Quadratische Ergänzung durchführen

    Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).
    \(\begin{align*}
    x^2 + {\color{red}6}x &= -10 &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right.} \\[5px]
    x^2 + 6x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -10 {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 3^2 \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 9 \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= -1
    \end{align*}\)

    4) Binomische Formel anwenden

    \(\begin{align*}
    {\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} 6x + {\color{red}3}^2 &= -1 &&{\color{gray}|\text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px]
    ({\color{red}x + 3})^2 &= -1
    \end{align*}\)

    5) Wurzel ziehen

    \(\begin{align*}
    (x + 3)^2 &= -1 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
    \sqrt{(x + 3)^2} &= \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(-1\)}}} &&{\colorbox{yellow}{Wenn der Term unter der Wurzel \(< 0\) ist....}}
    \end{align*}\)

    \(\Rightarrow\) In der Menge der reellen Zahlen ist das Wurzelziehen einer Wurzel mit negativem Radikanden nicht definiert. Aus diesem Grund gibt es keine (reellen) Lösungen!

    6) Gleichung nach \(x\) auflösen

    Dieser Schritt entfällt hier.

    7) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{\,\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...gibt es keine Lösung!}}\)

    Anmerkung: Wenn wir die Definitionsmenge der quadratischen Gleichung auf die Menge der komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) erweitern, hat diese Gleichung zwei komplexe Lösungen.

Anmerkung

Dieses Lösungsverfahren dient auch zur Herleitung der Mitternachtsformel und der pq-Formel.

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!

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