Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung löst.

Benötigtes Vorwissen

Kontext

Es gibt vier Arten von quadratischen Gleichungen in jeweils zwei Darstellungsformen:

  Allgemeine Form Normalform
Reinquadratisch ohne Absolutglied \(ax^2 = 0\) \(x^2 = 0\)
Reinquadratisch mit Absolutglied \(ax^2 + c = 0\) \(x^2 + q = 0\)
Gemischtquadratisch ohne Absolutglied \(ax^2 + bx = 0\) \(x^2 + px = 0\)
Gemischtquadratisch mit Absolutglied \(ax^2 + bx + c = 0\) \(x^2 + px + q = 0\)

Nur gemischtquadratische Gleichungen lassen sich durch quadratische Ergänzung lösen!
Für gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied gibt es aber ein einfacheres Lösungsverfahren als die quadratische Ergänzung (siehe Quadratische Gleichungen lösen), weshalb wir uns hier auf gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied beschränken.

Problemstellung

Um gemischtquadratische Gleichungen nach \(x\) aufzulösen, müssen wir uns eines Tricks bedienen: Wir formen die gemischtquadratische Gleichung in die Form \((x + d)^2 = e\) um.

Jede gemischtquadratische Gleichung lässt sich in die binomische Form

\((x + d)^2 = e\)

bringen.

Gleichungen der Form \((x + d)^2 = e\) können wir ganz einfach durch Wurzelziehen lösen.

Beispiel

\((x + 3)^2 = 4\)

1) Wurzel ziehen

\(\begin{align*}
(x + 3)^2 &= 4 &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
x + 3 &= \pm \sqrt{4} \\[5px]
x + 3 &= \pm 2
\end{align*}\)

2) Lösungen berechnen

\(\begin{align*}
x + 3 &= \pm 2 &&{\color{gray}| -3} \\[5px]
x &= \pm 2 - 3
\end{align*}\)

Fallunterscheidung

\(x_1 = -2 - 3 = -5 \)

\(x_2 = 2 - 3 = -1\)

3) Lösungsmenge aufschreiben

\(\mathbb{L} = \{-5; -1\}\)

Um Gleichungen wie \(ax^2 + bx + c = 0\) auf die Form \((x + d)^2 = e\) zu bringen, müssen wir in der Regel quadratisch ergänzen. Wie das funktioniert, schauen wir uns anhand einiger Beispiele an. Grundsätzlich lösen wir gemischtquadratische Gleichungen folgendermaßen:

1) Quadratische Gleichung in Normalform umformen
2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen
3) Quadratische Ergänzung durchführen
4) Binomische Formel anwenden
5) Wurzel ziehen
6) Lösungen berechnen
7) Lösungsmenge aufschreiben

Beispiele

  • \(2x^2 + 12x + 20 = 0\)

    1) Quadratische Gleichung in Normalform umformen

    \(\begin{align*}
    2x^2 + 12x + 20 &= 0 &&{\color{gray}|:2} \\[5px]
    x^2 + 6x + 10 &= 0
    \end{align*}\)

    2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen

    \(\begin{align*}
    x^2 + 6x + 10 &= 0 &&{\color{gray}|-10} \\[5px]
    x^2 + 6x &= -10
    \end{align*}\)

    3) Quadratische Ergänzung durchführen

    Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).

    \(\begin{align*}
    x^2 + {\color{red}6}x &= -10 &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right.} \\[5px]
    x^2 + 6x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -10 {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 3^2 \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 9 \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= -1
    \end{align*}\)

    4) Binomische Formel anwenden

    \(\begin{align*}
    {\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} 6x + {\color{red}3}^2 &= -1 &&{\color{gray}|\text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px]
    ({\color{red}x + 3})^2 &= -1
    \end{align*}\)

    5) Wurzel ziehen

    \(\begin{align*}
    (x + 3)^2 &= -1 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
    x + 3 &= \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(-1\)}}} &&{\colorbox{yellow}{Wenn der Term unter der Wurzel \(< 0\) ist....}}
    \end{align*}\)

    Die Wurzel einer negativen Zahl ist nicht definiert!

    6) Lösungen berechnen

    Dieser Schritt entfällt in diesem Fall.

    7) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{\,\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...gibt es keine Lösung!}}\)

  • \(2x^2 - 12x + 18 = 0\)

    1) Quadratische Gleichung in Normalform umformen

    \(\begin{align*}
    2x^2 - 12x + 18 &= 0 &&{\color{gray}|:2} \\[5px]
    x^2 - 6x + 9 &= 0
    \end{align*}\)

    2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen

    \(\begin{align*}
    x^2 - 6x + 9 &= 0 &&{\color{gray}|-9} \\[5px]
    x^2 - 6x &= -9
    \end{align*}\)

    3) Quadratische Ergänzung durchführen

    Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).

    \(\begin{align*}
    x^2 - {\color{red}6}x &= -9 &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right.} \\[5px]
    x^2 - 6x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -9 {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px]
    x^2 - 6x + 3^2 &= -9 + 3^2 \\[5px]
    x^2 - 6x + 3^2 &= -9 + 9 \\[5px]
    x^2 - 6x + 3^2 &= 0
    \end{align*}\)

    4) Binomische Formel anwenden

    \(\begin{align*}
    {\color{red}x}^2 {\color{red}\,-\,} 6x + {\color{red}3}^2 &= 0 &&{\color{gray}|\text{ 2. Binomische Formel}} \\[5px]
    ({\color{red}x - 3})^2 &= 0
    \end{align*}\)

    5) Wurzel ziehen

    \(\begin{align*}
    (x - 3)^2 &= 0 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
    x - 3 &= \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(0\)}}} &&{\colorbox{yellow}{Wenn der Term unter der Wurzel \(= 0\) ist....}} \\[5px]
    x - 3 &= \pm 0
    \end{align*}\)

    6) Lösungen berechnen

    \(\begin{align*}
    x - 3 &= \pm 0 &&{\color{gray}|+3} \\[5px]
    x &= \pm 0 + 3
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = 0 + 3 = 3\)

    \(x_2 = 0 + 3 = 3\)

    7) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{3\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...gibt es eine Lösung!}}\)

  • \(2x^2 + 12x + 10 = 0\)

    1) Quadratische Gleichung in Normalform umformen

    \(\begin{align*}
    2x^2 + 12x + 10 &= 0 &&{\color{gray}|:2} \\[5px]
    x^2 + 6x + 5 &= 0
    \end{align*}\)

    2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen

    \(\begin{align*}
    x^2 + 6x + 5 &= 0 &&{\color{gray}|-5} \\[5px]
    x^2 + 6x &= -5
    \end{align*}\)

    3) Quadratische Ergänzung durchführen

    Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).

    \(\begin{align*}
    x^2 + {\color{red}6}x &= -5 &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right.} \\[5px]
    x^2 + 6x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -5 {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= -5 + 3^2 \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= -5 + 9 \\[5px]
    x^2 + 6x + 3^2 &= 4
    \end{align*}\)

    4) Binomische Formel anwenden

    \(\begin{align*}
    {\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} 6x + {\color{red}3}^2 &= 4 &&{\color{gray}|\text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px]
    ({\color{red}x + 3})^2 &= 4
    \end{align*}\)

    5) Wurzel ziehen

    \(\begin{align*}
    (x + 3)^2 &= 4 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
    x + 3 &= \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{\(4\)}}} &&{\colorbox{yellow}{Wenn der Term unter der Wurzel \(> 0\) ist....}} \\[5px]
    x + 3 &= \pm 2
    \end{align*}\)

    6) Lösungen berechnen

    \(\begin{align*}
    x + 3 &= \pm 2 &&{\color{gray}|-3} \\[5px]
    x &= \pm 2 - 3
    \end{align*}\)

    Fallunterscheidung

    \(x_1 = -2 - 3 = -5\)

    \(x_2 = 2 - 3 = -1\)

    7) Lösungsmenge aufschreiben

    \(\mathbb{L} = \{-5; -1\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...gibt es zwei Lösungen!}}\)

Anmerkung

Dieses Lösungsverfahren dient auch zur Herleitung der Mitternachtsformel und der pq-Formel.

1. Herleitung der Mitternachtsformel

Gegeben sei eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form \(ax^2 + bx + c = 0\).

1) Quadratische Gleichung in Normalform umformen

\(\begin{align*}
ax^2 + bx + c &= 0 &&{\color{gray}|:a} \\[5px]
\frac{ax^2}{\color{gray}a} + \frac{bx}{\color{gray}a} + \frac{c}{\color{gray}a} &= 0 \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0
\end{align*}\)

2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen

\(\begin{align*}
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0 &&{\color{gray}|-\frac{c}{a}} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x &= -\frac{c}{a}
\end{align*}\)

3) Quadratische Ergänzung durchführen

Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).

\(\begin{align*}
x^2 + {\color{red}\frac{b}{a}}x &= -\frac{c}{a} &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{1}{2}\cdot{\color{red}\frac{b}{a}}\right)^2\right.} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{1}{2}\cdot{\color{red}\frac{b}{a}}\right)^2} &= {\color{gray}\left(\frac{1}{2}\cdot{\color{red}\frac{b}{a}}\right)^2} -\frac{c}{a} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \cdot {\color{gray}\frac{4a}{4a}} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \\[5px]
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \\[5px]
\end{align*}\)

4) Binomische Formel anwenden

\(\begin{align*}
{\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} \frac{b}{a}x + \left({\color{red}\frac{b}{2a}}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} &&{\color{gray}|\text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px]
\left({\color{red}x + \frac{b}{2a}}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
\end{align*}\)

5) Wurzel ziehen

\(\begin{align*}
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
x + \frac{b}{2a} &= \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\[5px]
x + \frac{b}{2a} &= \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\sqrt{4a^2}} \\[5px]
x + \frac{b}{2a} &= \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{align*}\)

6) Lösungen berechnen

\(\begin{align*}
x + \frac{b}{2a} &= \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} &&{\color{gray}|-\frac{b}{2a}} \\[5px]
x &= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{align*}\)

Mitternachtsformel

\(x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Im Kapitel zur Mitternachtsformel wenden wir die Lösungsformel an konkreten Beispielen an.

2. Herleitung der pq-Formel

Gegeben sei eine quadratische Gleichung in Normalform \(x^2 + px + q = 0\).

1) Quadratische Gleichung in Normalform umformen

Die Gleichung liegt bereits in Normalform vor.

2) Absolutglied auf die rechte Seite bringen

\(\begin{align*}
x^2 + px + q &= 0 &&{\color{gray}|-q} \\[5px]
x^2 + px &= -q
\end{align*}\)

3) Quadratische Ergänzung durchführen

Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\).

\(\begin{align*}
x^2 + {\color{red}p}x &= -q &&{\color{gray}\left|+\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2\right.} \\[5px]
x^2 + px {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2} &= {\color{gray}\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2} - q
\end{align*}\)

4) Binomische Formel anwenden

\(\begin{align*}
{\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} px + \left({\color{red}\frac{p}{2}}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q &&{\color{gray}|\text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px]
\left({\color{red}x + \frac{p}{2}}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q
\end{align*}\)

5) Wurzel ziehen

\(\begin{align*}
\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px]
x + \frac{p}{2} &= \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}
\end{align*}\)

6) Lösungen berechnen

\(\begin{align*}
x + \frac{p}{2} &= \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} &&{\color{gray}|-\frac{p}{2}}
\end{align*}\)

pq-Formel

\(x_{1, 2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}\)

Im Kapitel zur pq-Formel wenden wir die Lösungsformel an konkreten Beispielen an.