Quadratische Gleichungen grafisch lösen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man quadratische Gleichungen grafisch löst.

Kontext

Mithilfe der quadratischen Ergänzung, der Mitternachtsformel, der pq-Formel oder dem Satz von Vieta können wir die Lösungen einer quadratischen Gleichung exakt berechnen. Für viele praktische Anwendungen genügt allerdings eine Näherungslösung. Grafische Verfahren zum Lösen von Gleichungen sind immer Näherungsverfahren: Unsere Zeichen(un)genauigkeit erlaubt uns nur ein ungefähres, also näherungsweises, Ablesen der Lösungen.

Die beiden hier vorgestellten Lösungsverfahren haben eine Gemeinsamkeit: Im 1. Schritt bringen wir quadratische Gleichung in Normalform. Das hat den Grund, dass wir dann beim Zeichnen des Graphen der entsprechenden quadratischen Funktion die Zeichenschablone für die Normalparabel verwenden können. Das zeitaufwändige Anlegen einer Wertetabelle entfällt.

1. Verschobene Normalparabel

Die Lösungen der quadratischen Gleichung entsprechen den Nullstellen der zu der quadratischen Gleichung gehörenden Normalparabel.

LÖSUNGSFÄLLE

Fall 1

0 Nullstellen \(\Rightarrow\) 0 Lösungen

Fall 2

1 Nullstelle \(\Rightarrow\) 1 Lösung

Fall 3

2 Nullstellen \(\Rightarrow\) 2 Lösungen

LÖSUNGSVERFAHREN

1) Gleichung in Normalform bringen
2) Gleichung in Scheitelpunktform bringen und Scheitelpunkt ablesen
3) Normalparabel in Koordinatensystem einzeichnen
4) Nullstellen der Normalparabel ablesen
5) Lösungsmenge aufschreiben

BEISPIEL 1

\(\colorbox{yellow}{\(-2x^2 + 2x - 2 = 0\)}\)

1) Gleichung in Normalform bringen

\(\begin{align*}
-2x^2 + 2x - 2 &= 0 &&{\color{gray}|:(-2)} \\[5px]
x^2 - x + 1 &= 0
\end{align*}\)

2) Gleichung in Scheitelpunktform bringen und Scheitelpunkt ablesen

\(\begin{align*}
x^2 - x + 1 &= 0 &&{\color{gray}|\text{ Absolutglied auf rechte Seite}}\\[5px]
x^2 - x &= -1 &&{\color{gray}|\text{ Quadratische Ergänzung}}\\[5px]
x^2 - {\color{red}1} \cdot x + \left(\frac{\color{red}1}{2}\right)^2 &= -1 + \left(\frac{\color{red}1}{2}\right)^2 &&{\color{gray}|\text{ Binomische Formel}}\\[5px]
\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 &= -1 + 0{,}25\\[5px]
(x - 0{,}5)^2 &= -0{,}75\\[5px]
\end{align*}\)

\(\Rightarrow S(0{,}5|0{,}75)\)

3) Normalparabel in Koordinatensystem einzeichnen

\(f(x) = x^2 - x + 1\)
ist eine nach oben geöffnete Normalparabel
mit Scheitelpunkt in \(S(0{,}5|0{,}75)\).

4) Nullstellen der Normalparabel ablesen

Die obige Normalparabel hat keine Nullstellen.

5) Lösungsmenge aufschreiben

\(\mathbb{L} = \{\,\}\)

BEISPIEL 2

\(\colorbox{yellow}{\(-2x^2 + 2x - 0{,}5 = 0\)}\)

1) Gleichung in Normalform bringen

\(\begin{align*}
-2x^2 + 2x - 0{,}5 &= 0 &&{\color{gray}|:(-2)} \\[5px]
x^2 - x + 0{,}25 &= 0
\end{align*}\)

2) Gleichung in Scheitelpunktform bringen und Scheitelpunkt ablesen

\(\begin{align*}
x^2 - x + 0{,}25 &= 0 &&{\color{gray}|\text{ Absolutglied auf rechte Seite}}\\[5px]
x^2 - x &= -0{,}25 &&{\color{gray}|\text{ Quadratische Ergänzung}}\\[5px]
x^2 - {\color{red}1} \cdot x + \left(\frac{\color{red}1}{2}\right)^2 &= -0{,}25 + \left(\frac{\color{red}1}{2}\right)^2 &&{\color{gray}|\text{ Binomische Formel}}\\[5px]
\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 &= -0{,}25 + 0{,}25\\[5px]
(x - 0{,}5)^2 &= 0\\[5px]
\end{align*}\)

\(\Rightarrow S(0{,}5|0)\)

3) Normalparabel in Koordinatensystem einzeichnen

\(f(x) = x^2 - x + 0{,}25\)
ist eine nach oben geöffnete Normalparabel
mit Scheitelpunkt in \(S(0{,}5|0)\).

4) Nullstellen der Normalparabel ablesen

\(x = 0{,}5\)

5) Lösungsmenge aufschreiben

\(\mathbb{L} = \{0{,}5\}\)

BEISPIEL 3

\(\colorbox{yellow}{\(-2x^2 + 2x + 4 = 0\)}\)

1) Gleichung in Normalform bringen

\(\begin{align*}
-2x^2 + 2x + 4 &= 0 &&{\color{gray}|:(-2)} \\[5px]
x^2 - x - 2 &= 0
\end{align*}\)

2) Gleichung in Scheitelpunktform bringen und Scheitelpunkt ablesen

\(\begin{align*}
x^2 - x - 2 &= 0 &&{\color{gray}|\text{ Absolutglied auf rechte Seite}}\\[5px]
x^2 - x &= 2 &&{\color{gray}|\text{ Quadratische Ergänzung}}\\[5px]
x^2 - {\color{red}1} \cdot x + \left(\frac{\color{red}1}{2}\right)^2 &= 2 + \left(\frac{\color{red}1}{2}\right)^2 &&{\color{gray}|\text{ Binomische Formel}}\\[5px]
\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 &= 2 + 0{,}25\\[5px]
(x - 0{,}5)^2 &= 2{,}25\\[5px]
\end{align*}\)

\(\Rightarrow S(0{,}5|{-2{,}25})\)

3) Normalparabel in Koordinatensystem einzeichnen

\(f(x) = x^2 - x - 2\)
ist eine nach oben geöffnete Normalparabel
mit Scheitelpunkt in \(S(0{,}5|{-2{,}25})\).

4) Nullstellen der Normalparabel ablesen

\(x_1 = -1\)

\(x_2 = 2\)

5) Lösungsmenge aufschreiben

\(\mathbb{L} = \{-1; 2\}\)

2. Normalparabel und Gerade

Die Lösungen der quadratischen Gleichung entsprechen den Schnittpunkten der zu der quadratischen Gleichung gehörenden Normalparabel und Geraden.

LÖSUNGSFÄLLE

Fall 1

0 Schnittpunkte \(\Rightarrow\) 0 Lösungen

Fall 2

1 Schnittpunkt \(\Rightarrow\) 1 Lösung

Fall 3

2 Schnittpunkte \(\Rightarrow\) 2 Lösungen

LÖSUNGSVERFAHREN

1) Gleichung in Normalform bringen
2) Gleichung nach \(x^2\) auflösen
3) Normalparabel und Gerade in Koordinatensystem einzeichnen
4) \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen ablesen
5) Lösungsmenge aufschreiben

BEISPIEL 1

\(\colorbox{yellow}{\(-2x^2 + 2x - 2 = 0\)}\)

1) Gleichung in Normalform bringen

\(\begin{align*}
-2x^2 + 2x - 2 &= 0 &&{\color{gray}|:(-2)} \\[5px]
x^2 - x + 1 &= 0
\end{align*}\)

2) Gleichung nach \(x^2\) auflösen

\(\begin{align*}
x^2 - x + 1 &= 0 &&{\color{gray}|+x-1}\\[5px]
x^2 &= x - 1
\end{align*}\)

3) Normalparabel und Gerade in Koordinatensystem einzeichnen

\(f(x) = x^2\) ist die Normalparabel.

\(g(x) = x - 1\) ist eine Gerade
mit der Steigung \(m = 1\) und
dem \(y\)-Achsenabschnitt \(b = -1\).

4) \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen ablesen

Die beiden Graphen haben keine Schnittpunkte.

5) Lösungsmenge aufschreiben

\(\mathbb{L} = \{\,\}\)

BEISPIEL 2

\(\colorbox{yellow}{\(-2x^2 + 2x - 0{,}5 = 0\)}\)

1) Gleichung in Normalform bringen

\(\begin{align*}
-2x^2 + 2x - 0{,}5 &= 0 &&{\color{gray}|:(-2)} \\[5px]
x^2 - x + 0{,}25 &= 0
\end{align*}\)

2) Gleichung nach \(x^2\) auflösen

\(\begin{align*}
x^2 - x + 0{,}25 &= 0 &&{\color{gray}|+x-0{,}25}\\[5px]
x^2 &= x - 0{,}25
\end{align*}\)

3) Normalparabel und Gerade in Koordinatensystem einzeichnen

\(f(x) = x^2\) ist die Normalparabel.

\(g(x) = x - 0{,}25\) ist eine Gerade
mit der Steigung \(m = 1\) und
dem \(y\)-Achsenabschnitt \(b = -0{,}25\).

4) \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen ablesen

Die beiden Graphen haben einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Koordinate \(x = 0{,}5\).

5) Lösungsmenge aufschreiben

\(\mathbb{L} = \{0{,}5\}\)

BEISPIEL 3

\(\colorbox{yellow}{\(-2x^2 + 2x + 4 = 0\)}\)

1) Gleichung in Normalform bringen

\(\begin{align*}
-2x^2 + 2x + 4 &= 0 &&{\color{gray}|:(-2)} \\[5px]
x^2 - x - 2 &= 0
\end{align*}\)

2) Gleichung nach \(x^2\) auflösen

\(\begin{align*}
x^2 - x - 2 &= 0 &&{\color{gray}|+x+2}\\[5px]
x^2 &= x + 2
\end{align*}\)

3) Normalparabel und Gerade in Koordinatensystem einzeichnen

\(f(x) = x^2\) ist die Normalparabel.

\(g(x) = x + 2\) ist eine Gerade
mit der Steigung \(m = 1\) und
dem \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 2\).

4) \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen ablesen

Die beiden Graphen haben zwei Schnittpunkte mit den \(x\)-Koordinaten \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\).

5) Lösungsmenge aufschreiben

\(\mathbb{L} = \{-1;2\}\)

Anmerkung

Wenn du quadratische Gleichungen grafisch lösen möchtest und auf der Suche nach dem einfachsten Verfahren bist, dann empfiehlt sich die Vorgehensweise, die wir uns als Letztes angeschaut haben. Der Vorteil gegenüber dem 1. Verfahren ist eindeutig: Es muss keine (von vielen Schülern als kompliziert empfundene) quadratische Ergänzung durchgeführt werden.

In der Schule kommen in der Regel nur Aufgaben vor, bei denen sich die Lösungen so wie in den obigen Beispielen einfach ablesen lassen. Letztlich können wir uns aber erst sicher sein, dass wir die richtigen Lösungen haben, wenn wir die Probe machen: Wir setzen die Lösungen in die Ausgangsgleichung ein und schauen, ob eine wahre Aussage entsteht. Schließlich könnten die Lösungen statt \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\) auch \(x_1 = -1{,}01\) und \(x_2 = 1{,}98\) sein.

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!