Rechenregeln für Grenzwerte

Existieren die beiden Grenzwerte

\[\lim_{x\to\infty} f(x) = a \qquad \text{und} \qquad \lim_{x\to\infty} g(x) = b\]

so gelten folgende Rechenregeln

1. Regel
("Faktorregel")

Der Grenzwert einer Funktion multipliziert mit einer konstanten Zahl \(c\) entspricht der konstanten Zahl \(c\) multipliziert mit dem Grenzwert der Funktion.

\[\lim_{x\to\infty} c \cdot f(x) = c \cdot \left(\lim_{x\to\infty} f(x)\right) = \fcolorbox{Red}{}{\(c \cdot a\)}\]

2. Regel
("Summenregel")

Der Grenzwert einer Summe zweier Funktionen entspricht der Summe ihrer Grenzwerte.

\[\lim_{x\to\infty}\left[f(x)+g(x)\right] = \lim_{x\to\infty}f(x)+\lim_{x\to\infty}g(x) = \fcolorbox{Red}{}{\(a + b\)}\]

3. Regel
("Differenzregel")

Der Grenzwert einer Differenz zweier Funktionen entspricht der Differenz ihrer Grenzwerte.

\[\lim_{x\to\infty}\left[f(x)-g(x)\right] = \lim_{x\to\infty}f(x)-\lim_{x\to\infty}g(x) = \fcolorbox{Red}{}{\(a - b\)}\]

4. Regel
("Produktregel")

Der Grenzwert eines Produktes zweier Funktionen entspricht dem Produkt ihrer Grenzwerte.

\[\lim_{x\to\infty}\left[f(x) \cdot g(x)\right] = \lim_{x\to\infty}f(x) \cdot \lim_{x\to\infty}g(x) = \fcolorbox{Red}{}{\(a \cdot b\)}\]

5. Regel
("Quotientenregel")

Der Grenzwert eines Quotienten zweier Funktionen entspricht dem Quotienten ihrer Grenzwerte.

\[\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to\infty}f(x)}{\lim_{x\to\infty}g(x)} = \fcolorbox{Red}{}{\(\frac{a}{b}\)}, \quad\text{falls } b \neq 0\]

Neben diesen fünf gibt es noch einige weitere Regeln, die man beherrschen sollte.

6. Regel
("Logarithmusregel")

Wie berechnet man den Grenzwert einer Logarithmusfunktion?

\[\lim_{x\to\infty} \log_{\alpha} f(x) = \log_{\alpha} \left(\lim_{x\to\infty} f(x)\right) = \fcolorbox{Red}{}{\(\log_{\alpha} a\)} \]

7. Regel
("Potenzregel 1")

Wie berechnet man den Grenzwert zwischen zwei Funktionen, wobei die eine die Basis und die andere der Exponent einer Potenz ist?

\[\lim_{x\to\infty} f(x)^{g(x)} = \left(\lim_{x\to\infty} f(x)\right)^{\lim_{x\to\infty} g(x)} = \fcolorbox{Red}{}{\(a^b\)}\]

..wenn gilt:

\[\lim_{x\to\infty} f(x) \neq 0 \qquad \text{und} \qquad \lim_{x\to\infty} g(x) \neq 0\]

8. Regel
("Potenzregel 2")

Wie berechnet man den Grenzwert einer Funktion, die potenziert wird?

\[\lim_{x\to\infty} \left( f(x)\right)^p = \left(\lim_{x\to\infty}  f(x)\right)^p = \fcolorbox{Red}{}{\(a^p\)}\]

9. Regel
("Potenzregel 3")

Wie berechnet man den Grenzwert einer Wurzelfunktion?

\[\lim_{x\to\infty} \sqrt[p]{f(x)} = \sqrt[p]{\lim_{x\to\infty}  f(x)} = \fcolorbox{Red}{}{\(\sqrt[p]{a}\)}\]

Analyse möglicher Lösungen

Der Grenzwert einer Funktion ist entweder

  • eine relle Zahl \(c\) (z.B. 3),
  • \(+\infty\),
  • \(-\infty\),
  • oder nicht existent

Bei praktischen Berechnungen treten oft zwei (oder mehr) Grenzwerte in einem Term auf. Die Frage ist dann, welcher Grenzwert gilt für den gesamten Term bzw. wie lässt sich dieser Grenzwert aus den vorhandenen Grenzwerten berechnen. In der folgenden Tabelle findest du einen Übersicht über alle möglichen Konstellationen.

Summe und Differenz

\((+\infty) + c= +\infty\)

\((-\infty) + c= -\infty\)

 

\((+\infty) - c= +\infty\)

\((-\infty) - c= -\infty\)

 

\((+\infty) + (+\infty) = +\infty\)

\((-\infty) + (-\infty) = -\infty\)

 

\(-(-\infty) = +\infty\)

Produkt

\(\begin{equation*}
c \cdot (+\infty) =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(c > 0\)} \\
-\infty & \text{für \(c < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

 

\(\begin{equation*}
c \cdot (-\infty) =
\begin{cases}
-\infty & \text{für \(c > 0\)} \\
+\infty & \text{für \(c < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

 

\((+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty\)

\((+\infty) \cdot (-\infty) = -\infty\)

\((-\infty) \cdot (-\infty) = +\infty\)

Division

\[\frac{c}{+\infty} = \frac{k}{-\infty} = 0\]

\[\frac{0}{+\infty} = \frac{0}{-\infty} = 0\]

\[\begin{equation*}
\frac{c}{0} =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(c > 0\)} \\
-\infty & \text{für \(c < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\]

\[\frac{+\infty}{0} = +\infty \qquad \frac{-\infty}{0} = -\infty\]

Potenz

\(\begin{equation*}
c^{+\infty} =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(c > 1\)} \\
0 & \text{für \(0 \leq c < 1\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

\(\begin{equation*}
c^{-\infty} =
\begin{cases}
0 & \text{für \(c > 1\)} \\
+\infty & \text{für \(0 \leq c < 1\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

\(\begin{equation*}
(+\infty)^c =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(c > 0\)} \\
0 & \text{für \(c < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

\((+\infty)^{+\infty} = +\infty\)

\((+\infty)^{-\infty} = 0\)

Grenzwertberechnung von A bis Z

Im Zusammenhang mit der Berechnung von Grenzwerten gibt es einige Kenntnisse, die man sich aneignen sollte. Diese werden in den folgenden Kapiteln ausführlich erläutert.

Grenzwerte <- Grundlagen
Rechenregeln für Grenzwerte  
Grenzwert einer Potenzfunktion \[\lim_{x\to\infty} x^n\]
Grenzwert einer Exponentialfunktion \[\lim_{x\to\infty} a^x\]
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion \[\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_ 0}\]
Regel von l'Hospital \[\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{0}{0} \quad \text{oder } \frac{\infty}{\infty}\]
Anwendungen  
Stetigkeit einer Funktion \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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