Grenzwert einer Exponentialfunktion
In diesem Kapitel lernen wir, wie man den Grenzwert einer Exponentialfunktion berechnet.
Bevor du dich mit diesem Thema beschäftigst, solltest du den folgenden Artikel durchlesen
Wenn du das Verhalten einer Exponentialfunktion im Unendlichen erklären sollst, musst du die beiden Grenzwerte
\[\lim_{x \to +\infty} a^x \qquad \text{und} \qquad \lim_{x \to -\infty} a^x\]
berechnen.
Dazu kannst du entweder jeweils eine Wertetabelle anlegen oder aber dir den Grenzwert mit Hilfe der untenstehenden Kenntnisse erschließen.
\[\begin{equation*}
\lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{\(+\infty\)}} a^x =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(a > 1\)} \\
0& \text{für \(0 < a < 1\)} \\
\text{existiert nicht*} & \text{für \(a < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\]
*die Basis \(a\) einer Exponentialfunktion ist nur für positive Werte definiert.
Beispiel 1
\[\lim_{x\to+\infty} 2^x = +\infty \qquad \text{wegen } 2 > 1\]
\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & 5 & 10 & 15 & 20 \\ \hline
f(x) & 32 & 1.024 & 32.768 & 1.048.576
\end{array}
Beispiel 2
\[\lim_{x\to+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^x = 0 \qquad \text{wegen } 0 < \frac{1}{2} < 1\]
\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & 5 & 10 & 15 & 20 \\ \hline
f(x) & \frac{1}{32} & \frac{1}{1.024} & \frac{1}{32.768} & \frac{1}{1.048.576}
\end{array}
Beispiel 3
\[\lim_{x\to+\infty} (-2)^x = \text{nicht existent} \qquad \text{wegen } -2 < 0\]
\[\begin{equation*}
\lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{\(-\infty\)}} a^x =
\begin{cases}
0 & \text{für \(a > 1\)} \\
+\infty & \text{für \(0 < a < 1\)} \\
\text{existiert nicht*} & \text{für \(a < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\]
*die Basis \(a\) einer Exponentialfunktion ist nur für positive Werte definiert.
Beispiel 1
\[\lim_{x\to-\infty} 2^x = 0 \qquad \text{wegen } 2 > 1\]
\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & -5 & -10 & -15 & -20 \\ \hline
f(x) & \frac{1}{32} & \frac{1}{1.024} & \frac{1}{32.768} & \frac{1}{1.048.576}
\end{array}
Beispiel 2
\[\lim_{x\to-\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^x = +\infty \qquad \text{wegen } 0 < \frac{1}{2} < 1\]
\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & -5 & -10 & -15 & -20 \\ \hline
f(x) & 32 & 1.024 & 32.768 & 1.048.576
\end{array}
Beispiel 3
\[\lim_{x\to-\infty} (-2)^x = \text{nicht existent} \qquad \text{wegen } -2 < 0\]
Grenzwertberechnung von A bis Z
Im Zusammenhang mit der Berechnung von Grenzwerten gibt es einige Kenntnisse, die man sich aneignen sollte. Diese werden in den folgenden Kapiteln ausführlich erläutert.
| Grenzwerte | <- Grundlagen |
| Rechenregeln für Grenzwerte | |
| Grenzwert einer Potenzfunktion | \[\lim_{x\to\infty} x^n\] |
| Grenzwert einer Exponentialfunktion | \[\lim_{x\to\infty} a^x\] |
| Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion | \[\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_ 0}\] |
| Regel von l'Hospital | \[\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{0}{0} \quad \text{oder } \frac{\infty}{\infty}\] |
| Anwendungen | |
| Stetigkeit einer Funktion | \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\] |
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