Grenzwert einer Exponentialfunktion
In diesem Kapitel lernen wir, den Grenzwert einer Exponentialfunktion zu berechnen.
Erforderliches Vorwissen
- Exponentialfunktionen
- Was ist ein Grenzwert?
Einordnung
Wir wissen bereits, dass wir Grenzwerte mithilfe von Wertetabellen berechnen können. Dieses Vorgehen ist allerdings ziemlich zeitaufwändig. Bei einigen Funktionen können wir ohne Berechnung, also nur durch das Aussehen
der Funktionsgleichung auf den Grenzwert schließen.
Grenzwert x gegen plus unendlich
$$ \begin{equation*} \lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{$+\infty$}} a^x = \begin{cases} +\infty & \text{für } a > 1 \\[5px] 0 & \text{für } 0 < a < 1 \\[5px] \text{existiert nicht*} & \text{für } a < 0 \end{cases} \end{equation*} $$
* Die Basis $a$ einer Exponentialfunktion ist nur für positive Werte definiert.
Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = 2^x$ für $x\to+\infty$.
$$ \lim_{x\to+\infty} 2^x = +\infty \qquad \text{wegen } 2 > 1 $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 5 & 10 & 15 & 20 \\ \hline f(x) & 32 & 1.024 & 32.768 & 1.048.576 \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ für $x\to+\infty$.
$$ \lim_{x\to+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^x = 0 \qquad \text{wegen } 0 < \frac{1}{2} < 1 $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 5 & 10 & 15 & 20 \\ \hline f(x) & \frac{1}{32} & \frac{1}{1.024} & \frac{1}{32.768} & \frac{1}{1.048.576} \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = (-2)^x$ für $x\to+\infty$.
$$ \lim_{x\to+\infty} (-2)^x = \text{nicht existent} \qquad \text{wegen } -2 < 0 $$
Grenzwert x gegen minus unendlich
$$ \begin{equation*} \lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{$-\infty$}} a^x = \begin{cases} 0 & \text{für } a > 1 \\[5px] +\infty & \text{für } 0 < a < 1 \\[5px] \text{existiert nicht*} & \text{für } a < 0 \end{cases} \end{equation*} $$
* Die Basis $a$ einer Exponentialfunktion ist nur für positive Werte definiert.
Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = 2^x$ für $x\to-\infty$.
$$ \lim_{x\to-\infty} 2^x = 0 \qquad \text{wegen } 2 > 1 $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -5 & -10 & -15 & -20 \\ \hline f(x) & \frac{1}{32} & \frac{1}{1.024} & \frac{1}{32.768} & \frac{1}{1.048.576} \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ für $x\to-\infty$.
$$ \lim_{x\to-\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^x = +\infty \qquad \text{wegen } 0 < \frac{1}{2} < 1 $$
Anmerkung
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -5 & -10 & -15 & -20 \\ \hline f(x) & 32 & 1.024 & 32.768 & 1.048.576 \end{array} $$
Berechne den Grenzwert der Funktion $f(x) = (-2)^x$ für $x\to-\infty$.
$$ \lim_{x\to-\infty} (-2)^x = \text{nicht existent} \qquad \text{wegen } -2 < 0 $$
