Scheitelpunkt
In diesem Kapitel besprechen wir, was der Scheitelpunkt ist und wie man ihn berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Quadratische Funktionen
Definition
Der Scheitelpunkt ist der tiefste bzw. höchste Punkt einer Parabel.
Ist die Parabel nach oben geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Funktion.
Statt vom tiefsten Punkt spricht man auch vom Minimum der Funktion.
Ist die Parabel nach unten geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Funktion.
Statt vom höchsten Punkt spricht man auch vom Maximum der Funktion.
Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion.
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist $f(x) = ax^2 + bx +c$.
Im Folgenden lernen wir verschiedene Möglichkeiten kennen, den Scheitelpunkt zu berechnen.
Scheitelpunkt ablesen
Unter der Scheitelpunktform (kurz: Scheitelform) versteht man eine bestimmte Form einer quadratischen Gleichung, aus der man den Scheitelpunkt direkt ablesen kann:
$$ f(x) = a(x-{\color{red}d})^2+{\color{blue}e} \quad \Leftrightarrow \quad S({\color{red}d}|{\color{blue}e}) $$
Scheitelpunkt berechnen
Quadratische Ergänzung
Für die Umformung einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form in ihre Scheitelpunktform sind folgende Schritte notwendig:
Koeffizient von $\boldsymbol{x^2}$ aus $\boldsymbol{x^2}$ und $\boldsymbol{x}$ ausklammern
Quadratische Ergänzung
Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren
Binomische Formel auf Klammer anwenden
zu 2)
Hauptkapitel: Quadratische Ergänzung
Ist ein Term in der Form
$$ f(x) = x^2 + px $$
gegeben, so lautet die Formel für die quadratische Ergänzung
$$ f(x) = x^2 + px +\left(\frac{p}{2}\right)^2 -\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(x+ \frac{p}{2}\right)^2 -\left(\frac{p}{2}\right)^2 $$
Gegeben sei die quadratische Funktion
$$ f(x) = 3x^2 + 6x + 7 $$
Berechne den Scheitelpunkt mithilfe der quadratischen Ergänzung.
Koeffizient von $\boldsymbol{x^2}$ aus $\boldsymbol{x^2}$ und $\boldsymbol{x}$ ausklammern
$$ f(x) = 3 \cdot (x^2 + 2x) + 7 $$
Quadratische Ergänzung
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= 3 \cdot \left(x^2 + {\color{red}2}x + \left(\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2\right) + 7 \\[5px] &= 3 \cdot (x^2 + 2x {\color{blue}\:+\:1} {\color{blue}\:-\:1}) + 7 \end{align*} $$
Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= {\color{red}3} \cdot \left(x^2 + 2x + 1 {\color{red}\:-\:1}\right) + 7 \\[5px] &= 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 7 + {\color{red}3} \cdot ({\color{red}-1}) \\[5px] &= 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 7 - 3 \end{align*} $$
Binomische Formel auf Klammer anwenden
In diesem Fall wenden wir die 1. Binomische Formel an.
$$ \begin{align*} \phantom{f(x)} &= 3 \cdot \left(x^2 + {\color{red}2}x + 1\right) + 4 \\[5px] &= 3 \cdot \left(x+\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2 + 4 \\[5px] &= 3 \cdot (x+1)^2 + 4 \\[5px] &= 3 \cdot (x-({\color{red}-1}))^2 + {\color{red}4} \end{align*} $$
$\Rightarrow$ Die Parabel besitzt einen Scheitelpunkt mit den Koordinaten $S({\color{red}-1}|{\color{red}4})$.
Ableitung
Der Scheitelpunkt ist der Extrempunkt der Funktion. Wer sich in der Differentialrechnung auskennt, kann den Scheitelpunkt deshalb auch so berechnen:
Funktion ableiten
$\boldsymbol{x}$-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen
1. Ableitung gleich Null setzen
Gleichung nach $x$ auflösen
$\boldsymbol{y}$-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen
$x$-Wert in $f(x)$ einsetzen
Zusammenrechnen
Beispiel
Gegeben sei die quadratische Funktion
$$ f(x) = 3x^2 + 6x + 7 $$
Berechne den Scheitelpunkt mithilfe der Ableitung.
Funktion ableiten
$$ f'(x) = 6x + 6 $$
$\boldsymbol{x}$-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen
1. Ableitung gleich Null setzen
Ansatz: $f'(x) = 0$
$$ 6x + 6 = 0 $$
Gleichung nach $x$ auflösen
$$ \begin{align*} 6x + 6 &= 0 &&|\, -6 \\[5px] 6x &= -6 &&|\, :6 \\[5px] x &= {\color{red}-1} \end{align*} $$
$\boldsymbol{y}$-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen
$x$-Wert in $f(x)$ einsetzen
$$ f(-1) = 3(-1)^2 + 6 \cdot (-1) + 7 $$
Zusammenrechnen
$$ \phantom{f(-1)} = {\color{red}4} $$
$\Rightarrow$ Die Parabel besitzt einen Scheitelpunkt mit den Koordinaten $S({\color{red}-1}|{\color{red}4})$.
