Scheitelpunkt

In diesem Kapitel besprechen wir, was der Scheitelpunkt ist und wie man ihn berechnet.

Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt einer Parabel.

Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion.

Ist die Parabel nach oben geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Funktion.

Statt vom tiefsten Punkt spricht man auch vom Minimum der Funktion.

Ist die Parabel nach unten geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Funktion.

Statt vom höchsten Punkt spricht man auch vom Maximum der Funktion.

Was man unter einem Scheitelpunkt versteht, sollte jetzt klar sein. Es bleibt aber die Frage offen, wie man den Scheitelpunkt einer Parabel berechnet. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten, die wir uns im Folgenden genauer angucken

  • Scheitelpunkt ablesen
  • Scheitelpunkt berechnen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung
  • Scheitelpunkt berechnen durch Ableiten

Scheitelpunkt ablesen

Unter der Scheitelpunktform (auch: Scheitelform) versteht man eine bestimmte Form einer quadratischen Gleichung, aus der man den Scheitelpunkt direkt ablesen kann.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet

\(f(x) = ax^2 + bx +c\)

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet

\(f(x) = a(x-{\color{red}d})^2+{\color{blue}e}\)

Die Koordinaten des Scheitelpunktes lassen sich in dieser Form leicht ablesen: S(\({\color{red}d}|{\color{blue}e}\)).

Beispiel

Gegeben ist eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform

\(f(x) = -2(x-{\color{red}2})^2+{\color{blue}3}\)

Der Scheitelpunkt der Parabel ist demnach: S(\({\color{red}2}|{\color{blue}3}\)).

Im Koordinatensystem ist die quadratische Funktion \(f(x) = -2(x-2)^2+3\) eingezeichnet. Der Scheitelpunkt S(2|3) ist farblich hervorgehoben.

Scheitelpunkt berechnen
[Quadratische Ergänzung]

Im folgenden Beispiel wird vorausgesetzt, dass du die quadratische Ergänzung bereits kennst und richtig anwenden kannst. Sollte das nicht der Fall sein, empfehlen wir dir, zunächst den entsprechenden Artikel durchzulesen.

Wiederholung: Quadratische Ergänzung

Ist ein Term in der Form

\(f(x) = x^2 + px\)

gegeben, so lautet die Formel für die quadratische Ergänzung

\(f(x) = x^2 + px +\left(\frac{p}{2}\right)^2 -\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(x+ \frac{p}{2}\right)^2 -\left(\frac{p}{2}\right)^2\)

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Artikel "Quadratische Ergänzung".

Ist eine quadratische Funktion in allgemeiner Form gegeben, müssen wir die Funktion zunächst in Scheitelpunktform bringen, um danach wieder den Scheitelpunkt ablesen zu können.

Welche Schritte sind notwendig, um die Scheitelpunktform zu berechnen?

Vorgehensweise

  1. Koeffizient von \(x^2\) aus \(x^2\) und \(x\) ausklammern
  2. Quadratische Ergänzung
  3. Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren
  4. Binomische Formel auf Klammer anwenden

Beispiel

Berechne die Scheitelpunktform der folgenden quadratischen Funktion

\(f(x) = 3x^2 + 6x + 7\)

1.) Koeffizient von \(x^2\) aus \(x^2\) und \(x\) ausklammern

\(f(x) = 3 \cdot (x^2 + 2x) + 7\)

2.) Quadratische Ergänzung

\(f(x) = 3 \cdot \left(x^2 + {\color{red}2}x + \left(\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2\right) + 7\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot (x^2 + 2x {\color{blue}\:+\:1} {\color{blue}\:-\:1}) + 7\)

3.) Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren

\(f(x) = {\color{red}3} \cdot \left(x^2 + 2x + 1 {\color{red}\:-\:1}\right) + 7\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 7 + {\color{red}3} \cdot ({\color{red}-1})\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 7 - 3\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 4\)

4.) Binomische Formel auf Klammer anwenden

In diesem Fall wenden wir die 1. Binomische Formel an.

\(f(x) = 3 \cdot \left(x^2 + {\color{red}2}x + 1\right) + 4\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot \left(x+\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2 + 4\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot (x+1)^2 + 4\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot (x-({\color{red}-1}))^2 + {\color{red}4}\)

Der Graph der quadratischen Funktion besitzt einen Scheitelpunkt mit den Koordinaten S(\({\color{red}-1}\)|\({\color{red}4}\)).

Scheitelpunkt berechnen
[Ableiten]

Wenn du bereits Kenntnisse in der Differentialrechnung besitzt und weißt, wie man eine Funktion ableitet, kannst du den Scheitelpunkt schnell und unkompliziert nach folgendem Schema berechnen:

Vorgehensweise

  1. Funktion ableiten
  2. x-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen
    durch Nullsetzen der 1. Ableitung
  3. y-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen
    durch Einsetzen des x-Wertes in \(f(x)\)

Beispiel

Berechne den Scheitelpunkt der folgenden Funktion mit Hilfe der Ableitung

\(f(x) = 3x^2 + 6x + 7\)

1.) Funktion ableiten

\(f'(x) = 6x + 6\)

2.) x-Koordinate berechnen: Null setzen der 1. Ableitung

Ansatz: \(f'(x) = 0\)

\(f'(x) = 6x + 6 = 0 \qquad |-6\)

\(6x = -6 \qquad |:6\)

\(x = {\color{red}-1}\)

3.) y-Koordinate berechnen: Einsetzen von \(x\) in \(f(x)\)

\(f(x) = 3x^2 + 6x + 7\)

\(f(-1) = 3(-1)^2 + 6 \cdot (-1) + 7 = {\color{red}4}\)

Ergebnis

Die Parabel besitzt einen Scheitelpunkt mit den Koordinaten S(\({\color{red}-1}\)|\({\color{red}4}\)).

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Mehr zu quadratischen Funktionen

Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten. Viel Erfolg dabei!

Parabel zeichnen  
Parabel nach links oder rechts verschieben \(f(x) = (x-d)^2\)
Parabel nach oben oder unten verschieben \(f(x) = x^2 + c\)
Parabel strecken oder stauchen \(f(x) = ax^2\)
Punktprobe Liegt \(\text{P}\) auf \(\text{G}_f\)?
y-Achsenabschnitt berechnen \(x = 0\)
Nullstellen berechnen \(y = 0\)
Funktionsgleichung bestimmen \(f(x) = \dotsc\)
Quadratische Ergänzung \(x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
Scheitelpunktform berechnen \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)
Scheitelpunkt berechnen \(S(x_s|y_s)\)
Faktorisierte Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Lagebeziehungen  
Lagebeziehung Parabel-Parabel  
Lagebeziehung Parabel-Gerade  
Umkehrfunktion  
Umkehrfunktion bilden  
Aufgaben mit Lösungen  
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Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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