Lagebeziehung Parabel-Parabel
In diesem Kapitel schauen wir uns an, welche Lagebeziehungen zwischen zwei Parabeln bestehen können und wie man die Lagebeziehung rechnerisch ermittelt.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Quadratische Funktionen
Lagebeziehungen
Zwischen zwei Parabeln sind folgende Lagebeziehungen denkbar:
- Parabeln sind identisch
- Parabeln besitzen keinen Schnittpunkt
- Parabeln berühren sich in einem Punkt
- Parabeln schneiden sich in einem Punkt
- Parabeln schneiden sich in zwei Punkten
Anleitung
Funktionsgleichungen gleichsetzen
Gleichung in allgemeine Form bringen
Gleichung lösen
Ergebnis interpretieren
zu 3)
Hauptkapitel: Quadratische Gleichungen lösen
zu 4)
$\boldsymbol{f(x) = g(x)}$ | Beispiel | Lagebeziehung |
|---|---|---|
| Unendlich viele Lösungen | $0 = 0$ * | Parabeln identisch |
| Keine Lösung | $x = \pm \sqrt{-2}$ ** | Kein Schnittpunkt |
| Eine (zweifache) Lösung | $x_1 = x_2 = 7$ | Berührpunkt |
| Eine (einfache) Lösung | $x = -4$ | Ein Schnittpunkt |
| Zwei (verschiedene) Lösungen | $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$ | Zwei Schnittpunkte |
* Allgemeingültige Aussage, die für jedes $x$ erfüllt ist.
** Wurzel einer negativen Zahl (in $\mathbb{R}$) nicht definiert!
Beispiel
Gegeben seien zwei Parabeln durch die Funktionsgleichungen
$$ f(x) = 3x^2 - 5x + 7 $$
und
$$ g(x) = x^2 + 3x + 1 $$
Bestimme rechnerisch die Lagebeziehung der Parabeln.
Funktionsgleichungen gleichsetzen
$$ \begin{align*} f(x) &= g(x) \\[5px] 3x^2 - 5x + 7 &= x^2 + 3x + 1 \end{align*} $$
Gleichung in allgemeine Form bringen
$$ \begin{align*} 3x^2 - 5x + 7 &= x^2 + 3x + 1 &&|\, {\color{red}-1} \\[5px] 3x^2 - 5x + 7 {\color{red}\:-\:1}\ &= x^2 + 3x + 1 {\color{red}\:-\:1} \\[5px] 3x^2 - 5x + 6 &= x^2 + 3x &&|\, {\color{maroon}-3x} \\[5px] 3x^2 - 5x {\color{maroon}\:-\:3x} + 6 &= x^2 + 3x {\color{maroon}\:-\:3x} \\[5px] 3x^2 - 8x + 6 &= x^2 &&|\, {\color{red}-x^2} \\[5px] 3x^2 {\color{red}\:-\:x^2} - 8x + 6 &= x^2 {\color{red}\:-\:x^2} \\[5px] 2x^2 - 8x + 6 &= 0 \end{align*} $$
Gleichung lösen
Bei $2x^2 - 8x + 6 = 0$ handelt es sich um eine quadratische Gleichung, die wir u. a. mithilfe der Mitternachtsformel oder der pq-Formel lösen können.
Als Ergebnis erhalten wir
$$ x_1 = 1 $$
$$ x_2 = 3 $$
Ergebnis interpretieren
Es gibt zwei (verschiedene) Lösungen.$\Rightarrow$ Die Parabeln schneiden sich bei $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$.
Anmerkung
Falls nach den Schnittpunkten gefragt ist, müssen wir noch ein wenig weiterrechnen. Bislang haben wir nämlich nur die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte berechnet.
Die $y$-Koordinaten erhalten wir durch Einsetzen der $x$-Koordinaten in $f(x)$ (oder $g(x)$):
$$ f(x_1) = f({\color{red}1}) = 3 \cdot {\color{red}1}^2 - 5 \cdot {\color{red}1} + 7 = \phantom{1}{\color{blue}5} \quad \Rightarrow S_1({\color{red}1}|{\color{blue}5}) $$
$$ f(x_2) = f({\color{red}3}) = 3 \cdot {\color{red}3}^2 - 5 \cdot {\color{red}3} + 7 = {\color{blue}19} \quad \Rightarrow S_2({\color{red}3}|{\color{blue}19}) $$
